函数的奇偶性导学案.docxVIP

1.3.2 奇偶性 【学习目标导航】 1．结合具体函数，了解奇函数，偶函数的定义． 2．掌握判断函数奇偶性的方法，了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系． 3．会利用函数的奇偶性解决简单问题． 【学习重、难点】 1．根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性．(重点) 2．函数奇偶性的应用．(难点) 【问题提出 导入新知】 1.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题： （1）f (x)＝x2 （2）g(x)＝|x| （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系吗？ （3）点(x, f (x))在函数 y= f (x)的图象上，关于 y 轴的对称点(—x, f (x))也一定在 y= f (x)的 图象上吗？为什么？ （4）完成下列表格，从两个函数值对应中可以得出什么规律？ x … … … 0 1 2 3 … … … f (x)＝x2 g(x)＝|x| 对于 R 内的任意的一个 x，都有f (—x)= 这时我们称函数 f (x)＝x2 与 g(x)＝|x|为偶函数。 （5）偶函数的定义：如果对于函数 f (x)的 么函数 f (x)就叫做偶函数。 ；g(—x)= ，都有 ，那 偶函数的图象特征：图象关于 对称。 2.画出以下函数图象，观察两个图形，思考并讨论以下问题： 1 （1）f (x)＝x （2）g(x)＝ x （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？ （2）关于原点对称的点的坐标有什么关系吗？ （3）点(x, f (x))在函数 y= f (x)的图象上，关于原点的对称点(—x, —f (x))也一定在 y= f (x) 的图象上吗？为什么？ （4）完成下列表格，从两个函数值对应中可以得出什么规律？ … … … 0 1 2 3 g(x)＝ x 对于 R 内的任意的一个 x，都有f (—x)= ；g(—x)= 1 这时我们称函数 f (x)＝x 与 g(x)＝ 为奇函数。 x （5）奇函数的定义：如果对于函数 f (x)的 么函数 f (x)就叫做奇函数。 ，都有 ，那 奇函数的图象特征：奇函数的图象关于 对称。 3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的单调性，回答下列问题： （1）奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意的 x”中的“任意”二字，说明函数的奇偶 性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？ （2）－x与x两个数在数轴上所表示的点有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？ 得出结论： (3)如果一个函数的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形，能否判断它的奇偶性？ 得出结论： (4)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，能否判断它的奇偶性？ 得出结论： 【典例分析】 【例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x)＝x＋x ＋x ； (2) f (x)＝x ＋1； (3) f (x)＝x＋1； (6) f (x)＝5. 3 5 2 (4) f (x)＝x ，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0； 2 （注意： 既是奇函数又是偶函数的函数是 f (x)＝0 常函数. 前提是定义域关于原点对称）. 【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)先求定义域，看是否关于原点对称； (2)再判断 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是否恒成立. 2.对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能： 【活学活用 1】判断下列函数的奇偶性： 。 (3) f (x) ? x 1 x (2) f(x)=2x +3x ； 3 4 2 (1) f (x) ? x ? (4) f (x) ? x (x) ? x ?1 ? 1? x (5) f(x)=x +2x； (6) f 3 2 2 【思考】讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性。 【例 2】（1） 如图⑴，给出了奇函数 y＝f (x)的局部图象，求 f (－4). （2）如图⑵，给出了偶函数 y＝f (x)的局部图象，试比较 f (1)与 f (3) 的大小. （1） （2） 【活学活用 2】 (1)如图①所示，给出奇函数 y＝f(x)的局部图象，试作出 y 轴右侧的图象 并求出 f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数 y＝f(x)的局部图象，比较 f(1)与 f(3)的大小 并试作出 y 轴右侧的图象． 【思考】奇函数 f(x)的对称区间上的单调性有什么关系 ？偶函数呢？ 【例 3】 已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数，且当 x＞0 时，f(x)＝2x－1，求函数 f(x)的解析式． 【活学活用 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，x≥0时，f(x)＝x2－2x，求函数 f(x) 在 R 上的解析式． 【课堂练习】 1．已知 y＝f(x)是偶函数，且 f(4)＝5，那么 f(4)＋