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例. 证明函数 间断点分类: 例如: 例. 证明方程 * 第五节 函数的连续性 y y x x o o y=f(x) y =f(x) x0 连续 (continuous) 间断 (discontinuous) 一、连续函数的概念 ＃增量 设函数 y=f(x) 在 x0 点及其附近有定义，当自变量 x 有一增量 ?x，从 x0 变到 x0+ ?x 时，函数 y 相应地从 f(x0) 变到 f(x0+?x)，那么函数 f(x) 在 x0 点对应的增量( increment )为 ?y = f(x0+?x) - f(x0) 注：增量指改变量，可正可负。 D y y = f ( x ) x y o f (x0) x0+?x f (x0 +?x ) x0 ＃连续 定义1.17 设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，若当自变量 x 在点 x0 的增量 ?x 趋于零时，对应的函数增量 ?y = f(x0+?x) - f(x0) 也趋于零，即 则称函数y =f(x)在点x0连续(continuous)。 ＃连续 定义1.18 设函数 y=f(x) 在 x0 点的某个邻域内有定义，如果函数 f(x) 当 x?x0 时的极限存在，且等于它在 x0 点的函数值，即 则称函数 f(x) 在 x0 点连续。 函数在点 x0 连续的三点要求： （1）f(x) 在点 x0的某个邻域内有定义 （2）极限 存在； （3） 。 有定义 有极限 连续 ＃ 左连续 ＃ 右连续 显然有： ＃函数在区间上的连续性 在区间 I 上每一点都连续的函 数叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。若区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 函数 y=f(x) 如果在 x0 点不连续，则称 x0 点是函数 y = f(x) 的 间断点。(discontinuity points) 有下列三种情况： （1）f(x) 在点 x0 没有定义； （2）极限 不存在； （3） 。 二、函数的间断点 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡, 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 思考与练习 三、 初等函数的连续性 定理1.10（连续函数的和、差、积、商的连续性） 如果函数 f(x) 和 g(x) 都在 x0 点连续，则函数 f(x)?g(x)，f(x)?g(x) 及 f(x)/g(x) [g(x)?0] 在 x0 点连续。 定理1.11（复合函数的连续性 ） 如果函数 u=?(x) 在 x0 点连续，且 u0=?(x0)，又函数 y=f(u) 在 u0 点 连续，则复合函数 y=f[?(x)] 在 x0 点连续。 即 基本初等函数在其定义域内都是连续的。 ＃初等函数的连续性 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。 例 求极限 定理1.14（最大值和最小值定理） ( maximum minimum ) 如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则 f(x) 在该区间上必能取到最大值和最小值。 四、闭区间上的连续函数的性质 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 或在闭区间内有间断 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, *