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零点存在定理的妙用Word文档 ———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期： 高中生阅读零点存在定理的妙用 高中生阅读 穆天云 〔通讯地址：甘肃省金塔县中学 ：735300〕电子邮箱：jtzxmty@126 ? 函数与方程思想是高中数学最重要的数学思想方法之一, 而“函数与方程〞的单元也是?数学课程标准?在“函数概念与根本初等函数〞中特意增加的。关于该单元?数学课程标准?目标表述：了解函数的零点与方程根的联系。而研究新课标高考试题，不难发现只有学生充分体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法，才能对零点存在定理有较深刻的理性认识,才能够解释、举例或变形、推断并能利用该定理解决有关问题。下面笔者就教学中妙用零点存在定理解决问题的过程做以解析，供同学们参考. 类型一　用零点存在定理解决函数零点个数的求解与判定 例题、函数f(x)＝eq \r(x)－cos x在[0，＋∞)内(　　)． A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 方法1：〔零点存在定理法〕 由于y＝cos x∈[－1,1]， ①当x∈[0,1]时，f(0)＝－1＜0，f(1)＝1－cos 1＞0. ∵f(x)＝eq \r(x)－cos x，x∈[0,1]上的图象连续不连续， ∴f(x)在(0,1)内有零点． 又f′(x)＝eq \f(1,2\r(x))＋sin x＞0(x∈[0,1])， ∴f(x)在[0,1]上是增函数， 因此f(x)在(0,1)内有唯一零点． ②当x＞1时，f(x)＝eq \r(x)－cos x＞1－cos x＞0，那么f(x)在(1，＋∞)上没有零点． 综合①、②知函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点． 方法2：〔函数图象法〕 令f(x)＝eq \r(x)－cos x=0把零点个数问题转化为函数y＝cos x和函数y＝eq \r(x)的交点问题，在同一坐标系内画出两函数图象即可求解。 思路点拨：求函数零点个数的问题，从代数角度思考就是零点存在定理的应用；从几何角度思考就是令函数f(x)＝0转化为函数图象交点个数，借助函数图象与性质，研究其图象交点的个数，但一定要结合函数的性质判定函数图象的特征． 【变式训练】在以下区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在区间为 (　　)． A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4))) 解析　显然f(x)＝ex＋4x－3的图象连续不连续． 又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－1＞0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq \r(4,e)－2＜0. ∴由零点存在定理，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))内存在零点．答案　C 类型二　用零点存在定理解决函数零点所在的区间及长度 例题、函数f(x)＝ln x＋2x－6.问函数f(x)是否有零点？假设有求函数零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过eq \f(1,4). 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)是增函数． ∵f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＞0， ∴f(2)·f(3)＜0. ∴f(x)在(2,3)上至少有一个零点． 因f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 从而f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． ∵f(2)＜0，f(3)＞0. ∴f(x)的零点x0∈(2,3)． 取x1＝eq \f(5,2)，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝ln eq \f(5,2)－1＝ln eq \f(5,2)－ln e＜0， ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))·f(3)＜0， ∴x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，3)). 取x2＝eq \f(11,4)，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,4)))＝ln eq \f(11,4)－eq \f(1,2)＝ln eq \f(11,4)