大学物理课件：10-2 阻尼振动.pptVIP

* * §10-2 阻尼振动 通常情况下，运动会受到阻滞即阻尼作用。在回复力和阻力共同作用下的振动称为阻尼振动。 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为无阻尼自由振动。 谐振子在无阻尼时作周期性的等幅振动。 (1)摩擦阻尼: 由于介质对振动物体的摩擦阻力使振动系统的能量逐渐转变为热能, 最常见的摩擦阻尼来自于气体或液体的摩擦阻力。 阻尼主要分为两种: (2)辐射阻尼:振动物体引起邻近质点的振动, 使系统能量向四周辐射转变为波动的能量, 如音插振动辐射声波而减少能量。 * 考虑振动物体速度不太大的情形，摩擦阻力与速度大小成正比，与速度方向相反，即： ? 称为阻力系数，决定于物体的形状、大小和介质的性质 研究振动时, 常把辐射阻尼等效成摩擦阻尼来处理. 谐振子受回复力-kx 和阻力Ff ，由牛顿第二定律，可得振子的动力学方程为： * ?0---系统固有角(圆)频率 ?---阻尼因子 整理得： 令： 则有： — 二阶常系数线形齐次微分方程 * 1）阻尼较小时，即? ?0 ，微分方程的解为 式中 其中 和 为积分常数,由初始条件决定. 上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动. 为阻尼振动的振幅， 反映了阻尼对振幅的影响。 可以看出，阻尼作用较小时，振子的运动可看作振幅按指数规律衰减的准周期简谐振动. 这种情形称为欠阻尼。 * 阻尼振动的准周期性运动 减幅振动 阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的周期函数,阻尼振动只是具有某种重复性。 阻尼振动的周期：位移相继两次达到极大值的时间间隔 可见由于阻尼，振动变慢了。 阻尼越小，能量损失越少，振幅减小的越慢，周期也越接近于无阻尼自由振动的周期 * 2）阻尼较大 ? ?0 时，微分方程的解为 其中，A1、A2是积分常数，由初始条件来决定，这种情况称为过阻尼。 过阻尼 过阻尼情形下，无振动发生。系统不作周期性往复运动，而是由初始位置随时间非常缓慢地回到平衡位置。 * 3）如果 ? = ?0 ，则微分方程的解为 其中x0与v0为初始时刻振动系统的位置与速度。 可见系统的运动也不具有周期性特点，而是基本上按照 的规律回到平衡位置，此为临界阻尼。这是振动系统刚刚不能作准周期振动而很快回到平衡位置的情况，其趋近平衡点的过程要比过阻尼迅速。 临界阻尼 时周期性因子 为零，是质点不作往复运动的一个临界点。 * 曲线４,５为 过阻尼振动 曲线３为临界阻尼 在实际生活中，根据不同要求控制阻尼大小。如临界阻尼常应用在天平调衡中。 3 4 5 1 2 x t 图中曲线1, 2为欠 阻尼振动　 * 阻尼运动 * 实际中，为了获得稳定的振动，通常对振动系统作用一周期性外力（驱动力）。 受迫振动：物体在周期性驱动力作用下做与驱动力周期相同的振动。 则系统在弹性力，阻力和驱动力作用下受迫振动的方程为： 令： 设周期性外力——驱动力 写为： §10-3 受迫振动 共振 * 则： 是典型的二阶常系数线性非齐次微分方程。 由微分方程理论：非齐次微分方程的通解＝齐次微分方程的解＋非齐次的一个特解 当阻尼较小? ?0 时，此微分方程的解为 阻尼振动，衰减项 简谐振动，稳态项 受迫振动是阻尼振动和简谐振动的合成。 * 衰减项 稳态项 一般经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。 * 特点:: 频率: 受迫振动的频率等于驱动力的频率?， 而不是?0 振幅: (2) 稳态受迫振动的振幅和初相位与初始条件无关 初相位： 与无阻尼自由振动的振幅和初相有本质不同 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 * (1) 将（1）对 t 求导，得： (2) 受迫振动稳定时的位移表达式: 代入： 受迫振动稳定时的振幅和初相位的推导 * 在（2）式中令t = 0： (2) * 对t求导得稳态时振动物体的速度： 在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。 由受迫振动稳定时的位移表达式: * 2.共振 对于受迫振动，当外力幅值恒定时，稳态位移振幅随驱动力的频率而变化。当驱动力的角频率等于某个特定值时，位移振幅达到极大值的现象称为位移共振。 位移共振时驱动力频率略小于系统固有频率 当 ? ?0（即弱阻尼), ?共振 ? ?0 , 尖锐共振： 阻尼越小,共振频率越接近固有频率,共振位移振幅也越大 阻尼较大 阻尼较小 阻尼=0 阻尼更大 * 受迫振动速度在一定条件下发生共振的的现象称为速度共振。 共振