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小升初奥数讲义习题第6讲余数问题 小升初奥数讲义习题第6讲余数问题 PAGE / NUMPAGES 小升初奥数讲义习题第6讲余数问题 余数问题 【方法梳理】 一、有规律问题的解法口诀：和同加和，差同减差，余同取余，最小公倍加 （一）和同加和：如果不同被除数和余数的和相同，那么就把这个和，加到最小公倍数上。 （二）差同减差：如果不同被除数和余数的差相同，那么就把这个差，用最小公倍数减掉。 （三）余同取余：如果余数都相同，直接把余数加到最小公倍数上。 二、无规律问题的解法 一筐苹果， 如果按 5 个一堆放， 最后多出 2 个；如果按 6 个一堆放， 最后多 3 个；如果按 7 个一堆放， 还多出 1 个。这筐苹果至少有几个？ （一）逐步约束法 5 余 2 的最小数字是 7，看看 7 除以 6 是余 1 不是 3，所以要看看 7 上面加多少个 5 才能除以 6 余 3。 通常的做法是， 7+5=12，余 0，不对； 12+5=17，余 5，不对； 17+5=22，余 4，不对； 22+5=27，余 3，对了！所以 是 27。 27 这个数字出来了，还没结束，下面考虑 27 除以 7 余 6，不是余 1。要在 27 上面加多少个 30（5 和 6 的最小公倍 数）才能余 1？ 同样的思路，要余 1，相当于余 8（ 1＋ 7＝8），由于 30 除以 7 余 2，问题就转换为，要从余 6 变成余 8，需要多少 个 2，答案是 1 个，也就是 27 上面加 1 个 30 即可，最终数字是 57。 （二）中国剩余定律 先找出 6 和 7 的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以 5 余 1 的数字，为 42×3＝126 ，用这个数乘以 5 的余数。 题目中除以 5 余 2，所以 126×3＝252 ； 再找出 5和7 的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以 6 余 1 的数字，为 35×5＝175 ，用这个数乘以 6 的余数。 题目中除以 6 余 3，所以 175×3＝525 ； 再找出 5和6 的公倍数，从中选取一个最小的、能够除以 7 余 1 的数字，为 30×4＝120 ，用这个数乘以 7 的余数。 - 1 - 题目中除以 7 余 1，所以 120×1＝120 ； 252＋525＋ 120＝ 897 ， 897 除以 5、6、 7 三个数的最小公倍数 210 的余数，即为最终答案： 897－ 210 ×4＝57 同余定理 1 、如果 a，b 除以 c 的余数相同，那么我们说 a， b 对于 c 是同余的。并且我们说 a， b 之间的差能被 c 整除。（ a b c 三个数都是自然数） 例 1：有一个大于 1 的数，除 45， 59，101 所得的余数相同，求这个数可能是多少？ 举一反三： 已知三个数 127,99 和一个小于 30 的两位数 a 除以一个一位数 b 的余数都是 3,求 a 和 b 的值 . 同余定理 2、 a 和 b 的积除以 c 的余数，等于 a， b 分别除以 c 的余数的积或者这个余数的积再除以 c 所得的余数。 （ a b c 均为自然数） 例 2：31453 68765 987657 的积 ,除以 4 的余数是多少？ - 2 - 例 3：今有一类数，除以 3 余数是 2，除以 5 余数是 3，除以 7 余数是 2.试问这个类数最小那个又什么？ 举一反三： 有一类数，除以 7 余 2，除以 8 余 4，除以 9 余 3。问这类数中最小的是什么？ 例 4：有三个吉利数字， 888，518， 666，用他们同时除以一个相同的自然数，所得的余数为 a，a+7， a+10.试问这 个自然数是多少？ 举一反三： 140， 225，293 同时除以某一个自然数得到的余数相同，试问这个自然数是多少？余数又是多少？ - 3 - 例 5：如果时针现在表示的时间是 18 点整 ,那么分针旋转 1990 圈之后是 _____点钟 . 举一反三： 1999 年 1 月 1 日是星期五，试问 2002 年 6 月 1 日是星期几？ 例 6：节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共 2013 盏。从第一盏开始，按照 5 盏红灯， 4 盏黄灯， 3 盏蓝灯， 2 盏 绿灯不断地排下去。问： (1)第 1982 盏灯的颜色是什么？ (2)蓝灯共有多少盏？ 举一反三： 甲乙丙丁四个小朋友玩报数游戏，规定，甲报 1 乙报 2 丙报 3 丁报 4 甲报 5 乙报 6 丙报 7 ，问报 2012 的那个人是谁？、 - 4 - 例题 7、一个三位数除以 41 余 11，除以 37 余 5，那么这个三位数是多少？ 【巩固练习】 1．小东在计算除法时，把除数 87 写成 78，结果得到的商是 54，余数是