分块矩阵的概念及运算.pptVIP

* * 处理有特点的大矩阵时需要进行分块 分法: 将矩阵用纵线和横线分成若干小 矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的 子块. 2.3 分块矩阵 定义 以子块为元素的矩阵称为分块阵. 2.3.1 分块矩阵的概念 * 常用分块方式 分成四块.例如: 特殊 A ——视为一个子块 ——视为一个子块 * 按列分块.例如: 按行分块.例如: * 分块对角矩阵 分块三角矩阵 * 加法: 原矩阵同形且分块方式相同 数乘: 分块方式任意 2.3.2 分块矩阵的运算 * 乘法: AB =C ( Am?p , Bp ?n ) A的列数 = B 的行数 A的列的分法 = B 的行的分法 * 例1 * 转置: 特别 * 当Ai是方阵时， 方阵的幂及行列式: （分块对角矩阵的行列式） * 分块三角阵的行列式: 当Ai是方阵时， * 对角阵的逆矩阵: 当|Ai|≠0时,即Ai可逆时,A可逆 * 求 及 例2 解 设 * * 例3 设 求 * 说明B 的每一列都是齐次线性方程组 AX= 0 的一个解. *例4 A为一子块 尤其要注意 时的特殊情况: * 的不同理解: 例5 * 本节内容提要 ? 利用分块矩阵的初等变换求秩 ? 分块矩阵的初等变换 2.3.3 分块矩阵的初等变换 ? 分块初等阵 * 对分块矩阵也可以引进初等变换和 初等矩阵的概念.分块矩阵关于子块的 一次初等变换,可以看作是关于元素的 一批初等变换的合成.我们只以分成4块 的情况简单解释. 设 2.3.3 分块矩阵的初等变换 * 定义 下面三种针对分块矩阵M 的变形, 统称为分块矩阵的初等变换: 初等行变换 初等列变换 (1)换法: (2)倍法: (3)消法: 这里要假定运算满足可行性原则. 为什么要求P 可逆? 可逆 矩阵 * 分块初等阵 分块单位阵 一次初等变换 2.3.3 分块初等阵 换法: 倍法: 消法: * 对分块矩阵进行一次初等行(列)变换, 相当于给它左(右)乘以一个相应的分 块初等矩阵： 换法: * 消法: 倍法: * 分块初等变换不改变分块阵的秩. 消法分块初等变换保持行列式值不变. 用分块初等变换求逆. 对分块阵进行一次初等行(列)变换,相当 于对原矩阵进行一系列初等行(列)变换. 分块行 分块列 * 例1 求 ,其中A，B 可逆. 解 行 行 行 * 总结：常用的分块矩阵求逆公式 设 A, B 都是可逆方阵, 则有下列公式. * 证 例2 用分块方法证明 其中A、B为n阶方阵. 或 * 例3 证 证明 其中A 为n阶可逆矩阵,B为m阶方阵. (行列式第一降阶定理) * 例4 证明|Em -AB| = |En -BA| ,其中 A 为m×n阶矩阵, B为n×m阶阵. 证 * 利用上式可得 时可见书上的说明. 为任意数. * 注 本例的结果可以把m阶的行列式转化 为n阶的行列式计算, 此时可称为 (降阶公式). 尤其是当n =1时,即A为1列B为1行时, 等式的右端即为1个数. * 例5 计算 解