小学六年级奥数系列讲座：不定方程与整数拆分(含答案解析).pdfVIP

永久小学 2012 级 1 班数学拓展专题讲座 不定方程与整数分拆 求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题． 补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》 五年级 [ 第 15 讲 余数问题 ]. 解不定方程的 4 个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解． 本讲讲解顺序：③ 包括 1、2 、3 题 ④ ② ①包括 4、5 题 ③ 包括 6、7 题，其中③④步骤中加入百 鸡问题． 复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程． 整数分拆问题： 11、 12、13、 14、15． 1 ．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是 4 的数有多少个 ? 【分析与解】 设这个两位数为 ab ，则数字和为 a b ，这个数可以表达为 10a b，有 10a b a b 4 即 10a b 4a 4b ，亦即 b 2a ． 注意到 a 和 b 都是 0 到 9 的整数，且 a 不能为 0 ，因此 a 只能为 1、2、3 或 4，相应地 b 的取值为 2、4、6 、8． 综上分析，满足题目条件的两位数共有 4 个，它们是 12、24 、36 和 48 ． A B 17 2 ．设 A 和 B 都是自然数，并且满足 ,那么 A+B 等于多少 ? 11 3 33 【分析与解】 将等式两边通分，有 3A+llB=17, 显然有 B=l ，A=2 时满足，此时 A+B=2+1=3． 3 ．甲级铅笔 7 分钱一支，乙级铅笔 3 分钱一支．张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支 ? 【分析与解】 设购买甲级铅笔 x 支，乙级铅笔 y 支． 有 7 x +3 y =50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法： 将系数与常数对 3 取模 ( 系数 7 ，3 中，3 最小 ) ： 得 x =2(mod 3) ，所以 x 可以取 2 ，此时 y 取 12； x 还可以取 2+3=5，此时 y 取 5 ； 第 1 页 共 7 页 永久小学 2012 级 1 班数学拓展专题讲座 x 2 x 5 即 、 ,对应 x y 为 14、 10 y 12 y 5 所以张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共 14 支或 10 支． 4 ．有纸币 60 张，其中 1 分、 l 角、 1 元和 10 元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是 100 元? 【分析与解】 设 1 分、 1 角、 1 元和 10 元纸币分别有 a 张、 b 张、 c 张和 d 张， 列方程如下： a b c d 60 1 由 a 10b 100c 1000d 10000 2 (2)(1) 得 9b 99c 999d 9940 ③ 注意到③式左边是 9 的倍数，而右边不是 9 的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为 100 元． 5. 将一根长为 374 厘米的合金铝管截成若干根 36 厘米和 24 厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余 部分的管子最少是多少厘米 ? 【分析与解】 24 厘米与 36 厘米都是 12 的倍数， 所以截成若干根这两种型号的短管， 截去的总长度必是 12 的倍 数，但 374 被 12 除余 2，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于