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模糊集 L ．A ．Zadeh 加州大学电气工程和电子研究实验室， Berkeley ，加利福尼亚 模糊集合是带有隶属等级连续集的对象的一个类。 这样一个集合由隶属 （特征）函数表 征，隶属函数赋予每个对象一个取值于 0 到 1 区间之内的隶属度。本文把包含、联合、交、 补、关系、 凸性等概念推广到这种集合之上， 并在模糊集合的意义上确立这些概念的各种特 性。特别是在不要求模糊集合不想交的情况下证明凸模糊集合的分离定理。 I. 引言 对现实的自然界中碰到的对象进行分类， 经常找不到精确定义的资格判据。 例如， 动物 类明确把狗、马、鸟等列为他的成员，并明确把岩石，液体以及工厂等这类对象排除在外。 然而，像海星、细菌这类对象相对于动物类而言却处于一种含混的状态。把像 10 这样的一 个数与远大于 1 的实数的“类”联系起来时，出现在相同的含混性。 很清楚， “远大于 1 的所有实数” ，“没人”或“高个子”这些类，不构成一般数学意义 上的类或集合。 但事实上， 这种不精确定义的 “类”仍在人的思维中， 特别是在图像的识别、 信息通讯和抽象的领域内起着重要的作用。 上面引述的这种类可以用一种概念来处理， 本文的目的是初步探讨这一概念的一些基本 特性和含义。 所要研究的概念就是模糊集合的概念。 模糊集合是带有隶属度连续集的 “类”。 下面将要看到， 在构成一种许多方面与普通集合的结构类似但比它更一般的概念结构的过程 中，模糊集合的概念提供一个方便的出发点。 这种概念结构很可能会被证明有很广泛的应用 范围， 特别可用在图像分类和信息处理方面。 实质上， 当问题的不精确性来源于类的成员资 格的判据没有明确的定义， 而不是由于存在随机变量时， 这样一种结构为之提供一种自然的 方法。 我们由几个基本定义出发，开始模糊集合的讨论。 II. 定义 令 X 是点（目标、对象）空间， x 的一般元素记为 x 。于是 X={x} 。 X 中的一个模糊集合（类） A 由隶属（特征）函数 fA （x ）表征， fA （x ）把区间 [0 ， 1] 中的一个实数与 X 中每个点结合起来， x 上的 fA （x ）的值代表 x 在 A 中的“隶属度” 。 于是 fA （x ）的值越接近 1，x 在 A 中的隶属度也越高。若 A 是一个普通的集合，其隶属函 数只能取 0 和 1 两个值， fA （x ）=1 或 0，视 x 属于或不属于 A 而定。这样，在这情况下 f A （x ）简化为集合 A 的熟知的特征函数。 （当必须把这种集合和模糊集合区别开来时，具有 二值特征函数的集合将称为普通集合或简单集合） 1 1 例 令 X 是实线 R 且令 A 是远大于 1 的数的模糊集合。 则，通过把 fA （x ）规定为 R 上 的一个函数可以给出一个虽然主观但是明确的关于 A 的表征法。这样一个函数的典型值可 以是： f A （0 ）=0 ；fA （1）=0 ；f A （5）=0.01 ；f A （10）=0.2 ；fA （100 ）=0.95 ；fA （500 ） =1 应该注意，模糊集合的隶属函数虽然与 X 是一个可数集合时的概率函数（或