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定义: 若函数 推论1 第四次 例7 解 步骤: 步骤: 例8 解 例9 解 例10 解 极限不存在 罗必塔法则失效。 小结： （二）、函数的单调性和极值 （一）、求曲线的切线方程和法线方程  导数的应用 必考 （三）、函数的最大值和最小值 （四）、曲线的凹凸性 （一）、求曲线的切线方程和法线方程 由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道: （二）、函数的单调性和极值 观察下面的图形, 你能得出什么结论？ 综上所述, 可知: 在讨论函数的单调性时，一般先求出函 数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 , 然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 , 在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用 导数符号判断函数是单调增加还是单调减少. 提供了判断函数单调性的方法 解： 三、函 数 的 极 值 函数的极值是个局部性的概念. 极值的定义 (单调增加) (单调减少) (单调减少) (单调增加) 定理(极值判别方法1) 此时应另找其他方法. 定理 (极值判别方法2) 例 解： 极小 极大 例 解： 极小 在工程技术和生产实践中, 常常需要考虑 在一定条件下, 怎样才能使用料最少、费用最 省, 而效率和效益最高等问题. 这些问题反映 到数学上就是最优化问题. 优化技术应用价值很大 （三）、函 数 的 最大值与最小值 求最值的几个特殊情况 极大(小)值点 , 则该点就是函数的最大(小)值点 . 求最值的步骤： 求出极值可疑点； 比较区间端点和可疑点处得函数值； 最大的即为最大值，最小的即为最小值。 实际判断原则 ( 端点值 ) 例 解： 我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗? . . （四）、曲线的凹凸性 1. 曲线拐点的凹凸性 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的“上方”或“下方”的问题 . 在数学中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 . 简单地说 , 在区间 I 上 : 曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的. 凸 凹 成立 , 则称曲线 在区间 I 上是凸的 ; 成立 , 则称曲线 在区间 I 上是凹的 . 定义 怎么判定函数的凹凸？能不能根据函数的导 数的符号来判别函数 所对应的曲线的凹凸 性呢？ 在运用该定理时要注意： 但仅在个别孤立点处等于零 , 则定理仍然成立 . 定理 连续曲线上凸弧与凹弧度分界点 , 称为曲线的拐点. 2. 曲线拐点的定义及判别法 ( 判别拐点的充分条件) 定理 3. 求曲线拐点、凹凸性的一般步骤 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，要求高阶导数，需要逐步求一阶，二阶，三阶等导数，注意从中找出规律，以便得到n阶导数的表达式。 8、 高阶导数 解： 选A （二）、可微与可导的关系 （一）、微分的概念  微分 （五）、微分的运算法则 （六）、复合函数的微分 （三）、微分的几何意义 （四）、微分的基本公式 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. （一）、微分的概念 问题: 一般函数y=f(x)是否也有 ?y=f(x+?x) －f(x)=A?x+o(?x)? A是什么?如何求? 的微分, 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 在点 可微, 定理 : 函数 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 （二）、可微与可导的关系( 可微必可导 可导必可微). y?f(x)在点x0可微?Dy?ADx?o(Dx)? dy= f ?(x0)Dx ? 例1 求函数y?x2在x?1和x?3处的微分? dy?(x2)?|x?1Dx?2Dx? 函数y?x2在x?3处的微分为 dy?(x2)?|x?3Dx?6Dx? 例2 求函数 y?x3当x?2? Dx ?0?02时的微分? 解 函数y?x2在x?1处的微分为 解 先求函数在任意点x 的微分? dy?(x3)?Dx?3x2Dx? dy|x=2, Dx=0.02 =3?22?0.02=0.24? =3x2?x| x=2, Dx=0.02 M N T ） P （三）、微分的几何意义 d(xm)?m xm?1dx d(sin x)?cos xdx d(cos x)??sin xdx d(tan x)?sec2xdx d(cot x)??csc2xdx d(sec x)?sec