武汉大学数学与统计学院年第一学期《高等数学B1》期末考试试题.docxVIP

— PAGE \* Arabic 1 — 武汉大学数学与统计学院年第一学期《高等数学B1》期末考试试题 武汉大学数学与统计学院 A 卷 2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题  一、（42分）试解下列各题：  1、计算30arctan lim  1  x x x x  e →--. 2、求解微分方程096=+-y y y 的通解。 3  、计算-+?  121  (1)d x x x .   4、计算  +∞?   d x  e x .  5、求曲线?=  ?  ?  ?=?  ??  11  cos d sin d t t u  x u u u y u u  自1=t 至2π  =t 一段弧的长度。  6、设2  132  y x x =  ++，求()  n y . 二、（8分）已知xy  u e =，其中()y f x =由方程22   d cos d y x t  e t t t =  ?  ?  确定，求d d u x  .  三、（8分）设11x =,+11(1,2,)1n  n n  x x n x =+  =+，试证明数列{}n x 收敛，并求lim n n x →∞  .  四、（8分）证明结论：可导函数在其导数为正值的区间上为单调增加函数。并说明此结论的几  何意义。  五、（15分）已知函数32  4x y x  +=，求： 1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。  六、（12分）已知函数()y y x =满足微分方程2(1)y y x -=-，且x 轴为曲线()y y x =的一条切线，在曲线()y y x =（0x ≥）上某B 点处作一切线，使之与曲线、x 轴所围平面图形的面积为  1  12  ，试求：（1）曲线()y y x =的方程；（2）切点B 的坐标；（3）由上述所围图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积。  七、（7分）若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0==f a f b 及()()0f a f b ，则()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0ξ=f .  武汉大学数学与统计学院 A 卷  2009—2010第一学期《高等数学B1》期末考试试题参考答案  一、 （42分）试解下列各题：  1、解：3  2320001  1arctan arctan 11lim  lim lim 33  1  x x x x x x x x  x x x e →→→-  --+===- 2、解：方程的特征方程为：2  690r r -+=，其特征根为321==r r ， 故方程的通解为：x  e x c c y 321)(+= 3、解：原式=1  202x dx ? =  2  3  4、解：00022()x t  x t t e dx te dt td e +∞  +∞+∞  ===-???0   2[]22t t te e dt +∞  -+∞  -=-+=? 5  、解：s =  1π=?/2  1  1ln 2  dt t ππ  ==?    6、解：11  12  y x x =  -  ++ ()(1)(1)(1)![(1)(2)]n n n n y n x x -+-+=-+-+  二、（8分）解：  =()xy du dy  e y x dx dx  + ，方程两边微分得： 222cos y e dy x x dx = 222cos y dy x x e dx -=  故有2  22=(2cos )xy y du e y x x e dx  -+  三、（8分）解：0n x , 211  02  x x -=  ，因此21x x 设1n n x x -，则1111(1