数值分析实验指导书.docVIP

第 PAGE \* Arabic 15 页 数值分析实验指导书 实验一 1．1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？ 试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题（15621）。 1．2 设， （1）从尽可能精确的近似值出发，利用递推公式： 计算机从到的近似值； （2）从较粗糙的估计值出发，用递推公式： 计算从到的近似值； （3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。 1．3 绘制Koch分形曲线 问题描述：从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的另两条边代替，形成具有5个结点的新的图形（图1-4）；在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的另两条边代替，再次形成新的图形（图1-5），这时，图形中共有17个结点。这种迭代继续进行下去可以形成Koch分形曲线。在迭代过程中，图形中的结点将越来越多，而曲线最终显示细节的多少取决于所进行的迭代次数和显示系统的分辨率。Koch分形曲线的绘制与算法设计和计算机实现相关。 图1－4 第一次迭代 图1－5 第二次迭代 问题分析：考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程，设和分别为原始直线段的两个端点。现在需要在直线段的中间依次插入三个点产生第一次迭代的图形（图1-4）。显然，位于点右端直线段的三分之一处，点绕旋转60度（逆时针方向）而得到的，故可以处理为向量经正交变换而得到向量，形成算法如下： （1）； （2）； （3）； 在算法的第三步中，A为正交矩阵。 ； 这一算法将根据初始数据（和点的坐标），产生图1-4中5个结点的坐标。这5个结点的坐标数组，组成一个5×2矩阵。这一矩阵的第一行为为的坐标，第二行为的坐标，第二行为的坐标……第五行为的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x坐标 ，第二列元素分别为5个结点的y坐标。 问题思考与实验： （1）考虑在Koch分形曲线的形成过程中结点数目的变化规律。设第k次迭代产生结点数为，第迭代产生结点数为，试写出和之间的递推关系式； （2）参考问题分析中的算法，考虑图1-4到图1-5的过程，即由第一次迭代的5个结点的结点坐标数组，产生第二次迭代的17个结点的结点坐标数组的算法； （3）考虑由第k次迭代的个结点的结点坐标数组，产生第次迭代的个结点的结点坐标数组的算法； （4）设计算法用计算机绘制出如下的Koch分形曲线（图1-6）。 实验二 2．1 用高斯消元法的消元过程作矩阵分解。设 消元过程可将矩阵A化为上三角矩阵U，试求出消元过程所用的乘数、、并以如下格式构造下三角矩阵L和上三角矩阵U 验证：矩阵A可以分解为L和U的乘积，即A=LU。 2．2 用矩阵分解方法求上题中A的逆矩阵。记 分别求解方程组 由于三个方程组系数矩阵相同，可以将分解后的矩阵重复使用。对第一个方程组，由于A=LU，所以先求解下三角方程组,再求解上三角方程组，则可得逆矩阵的第一列列向量；类似可解第二、第三方程组，得逆矩阵的第二列列向量的第三列列向量。由三个列向量拼装可得逆矩阵。 2.3 验证希尔伯特矩阵的病态性：对于三阶矩阵 取右端向量，验证： （1）向量是方程组的准确解； （2）取右端向量b的三位有效数字得，求方程组的准确解，并与X的数据作比较 。说明矩阵的病态性。 实验三 3．1 用泰勒级数的有限项逼近正弦函数 用计算机绘出上面四个函数的图形。 3．2 绘制飞机的降落曲线 一架飞机飞临北京国际机场上空时，其水平速度为540km/h，飞行高度为1 000m。飞机从距机场指挥塔的横向距离12 000m处开始降落。根据经验，一架水平飞行的飞机其降落曲线是一条三次曲线。建立直角坐标系，设飞机着陆点为原点O，降落的飞机为动点，则表示飞机距指挥塔的距离，表示飞机的飞行高度，降落曲线为 该函数满足条件： （1）试利用满足的条件确定三次多项式中的四个系数； （2）用所求出的三次多项式函数绘制出飞机降落曲线。 3．3 追赶曲线的计算机模拟 问题描述：欧洲文艺复兴时期的著名人物达·芬奇曾经提出一个有趣的“狼追兔子”问题，当一只兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只饿狼出现在兔子正东的100码处。兔子急忙奔向自己的洞穴，狼立即以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。兔子一旦回