数值分析新课件教学专用na06.pptxVIP

仍然是已知 x1 … xm ; y1 … ym, 求一个简单易算的近似函数 P(x) ? f(x)。常见做法：? 使 最小 /* minimax problem */ ? 使 最小? 使 最小 /* Least-Squares method */第六章曲线拟合与函数逼近/* Approximation Theory */但是① m 很大；② yi 本身是测量值，不准确，即 yi ? f (xi)这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) ? yi 总体上尽可能小。不可导，求解困难?太复杂?确定多项式 ，对于一组数据(xi, yi) (i = 1, 2, …, n) 使得 达到极小，这里 n m。? 实际上是 a0, a1, …, an 的多元函数，即aaa[]01nm?2j=+++-n(a,a,...,a)aax...axy0101ninii=1i在 ? 的极值点应有mn??=-jk2[axy]xjiii==10ijnmm???+=-jkk2axyxjiii===011jiimm??记==kkbx,cyxkikii==1i1i§1 最小二乘拟合多项式 /* L-S approximating polynomials */法方程组(或正规方程组)/* normal equations */ 回归系数/* regression coefficients */ §1 L-S Approximating Polynomials定理L-S 拟合多项式存在唯一 (n m)。证明：记法方程组为 Ba = c .则有 其中对任意 ，必有 。若不然，则存在一个 使得…则是 n 阶多项式即的根? B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。Wait a second! You only gave me a critical point, but it’s not necessarily a minimum point !§1 L-S Approximating Polynomials定理 Ba = c 的解确是 ? 的极小点。即：设 a 为解，则任意 b = (b0 b1 … bn )T 对应的多项式 必有mm??j=-?-=j22(a)[P(x)y][F(x)y](b)iiii==1i1in?mm=j??F(x)bxj-j=---22(b)(a)[F(x)y][P(x)y]jiiii=0j=1=i1imm??=-+---22[F(x)P(x)P(x)y][P(x)y]iiiiii==11iimm??=-+--2[F(x)P(x)]2[F(x)P(x)][P(x)y]iiiiii==11ii证明：0注：? L-S method 首先要求设定 P(x) 的形式。若设n=m?1，则可取 P(x) 为过 m 个点的m?1阶插值多项式，这时? = 0。 ? P(x) 不一定是多项式，通常根据经验确定。 例 用 来拟合 。§1 L-S Approximating Polynomialsyx线性化 /* linearization */：令 ，则x?=方案一：设yP(x)就是个线性问题+axbmx?j=-2求 a 和 b 使得 最小。i(a,b)(y)+axbii=1i?+YabX将 化为 后易解 a 和b。(x,y)(X,Y)iiii例：(xi , yi) , i = 1, 2, …, mTake it easy! We just have to linearize it …But hey, the system of equations for a and b is nonlinear ! 例用 来拟合