高考数学江苏专版二轮专题复习训练：　二项式定理、数学归纳法（理科）.docVIP

精品 Word 可修改 欢迎下载 必威体育精装版 精品 Word 欢迎下载 可修改 精品 Word 可修改 欢迎下载 3个附加题专项强化练(三)　二项式定理、数学归纳法(理科) 1．已知函数f0(x)＝x(sin x＋cos x)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*. (1)求f1(x)，f2(x)的表达式； (2)写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明． 解：(1)因为fn(x)为fn－1(x)的导数， 所以f1(x)＝f0′(x) ＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x) ＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)， 同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x. (2)由(1)得f3(x)＝f2′(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x， 把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为 f1(x)＝(x＋1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋(x－1)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))， f2(x)＝(x＋2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,2)))＋(x－2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2π,2)))， f3(x)＝(x＋3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,2)))＋(x－3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,2)))， 猜测fn(x)＝(x＋n)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(nπ,2)))＋(x－n)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(nπ,2))).(*) 下面用数学归纳法证明上述等式． (ⅰ)当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立． (ⅱ)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式(*)成立， 即fk(x)＝(x＋k)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2)))＋(x－k)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2))). 则当n＝k＋1时， fk＋1(x)＝fk′(x) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2)))＋(x＋k)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2)))＋coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2)))＋(x－k)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2))))) ＝(x＋k＋1)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2)))＋[x－(k＋1)]·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(kπ,2))))) ＝[x＋(k＋1)]sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k＋1,2)π))＋[x－(k＋1)]·coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k＋1,2)π))， 即当n＝k＋1时，等式(*)成立． 综上所述，当n∈N*时，fn(x)＝(x＋n)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(nπ,2)))＋(x－n)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(nπ,2)))成立． 2．设1,2,3，…，n的一个排列是a1，a2，…，an，若ai＝i称i为不动点(1≤i≤n)． (1)求1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数； (2)记1,2,3，…，n的排列中恰有k个不动点的排列个数为Pn(k)，①求eq \i\su(k＝0,n,P)n(k)；②eq \i\su(k＝1,n,k)Pn(k)． 解：(1)1,2,3,4,5的排列中恰有两个数不动， 即为有两个ai＝i，另三个ai≠i，而三个数没有不动点的排列有2个， 故1,2,3,4,5的排列中恰有两个不动点的排列个数为2Ceq \o\al(2,5)＝20. (2)①在1,2,3，…，n的排列中分成这样n＋1类，有0个不动点，1个不动点，2个不动点，…，n个不动点， 故eq \i\