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向量与三角形内心 向量与三角形内心 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）????O是?ABC的重心. 证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3?? ????? ?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0?y?y1?y2?y3 ?O是?ABC的重心. ?OA?OB?OC?OA?2OD?0 ??2 ?A、O、D三点共线，且O分AD为2：1 ?O是?ABC的重心 （2）OA?OB?OB?OC?OC?OA?O为?ABC的垂心. 证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. ????(?)???0 ?? 同理OA?BC，OC?AB ?O为?ABC的垂心 a?b?c??O为?ABC的内心. （3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是?ABC的内心 分别为方向上的单位向量， cb bc平分?BAC, ?AO??()，令?? ??? a?b?ccbcb （) 化简得(a?b?c)?b?c? ??? a?b?ccb ?aOA?bOB? ???O为?ABC的外心。 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ???(?)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示?ABC，D、E分别为边BC、AC的中点. ???2 ???2? ??? ??2 点P的轨迹一定通过?ABC 的重心，即选C. （03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共 线的三个点，动点P满足??? ?0,??? ，， 则点P的轨迹一定通过?ABC的（ B ） A．外心 C．重心 D．垂心 分析：分别为方向上的单位向量， 平分?BAC,?点P的轨迹一定通过?ABC的内心，即选 点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ???，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的 （ ） A．外心 B C．重心 D．垂心 分析：如图所示AD垂直BC ，BE垂直AC， D、E是垂足. ?点P的轨迹一定通过?ABC的垂心，即选D. 1．已知?ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足???，若实数?满足：???，则?的值为（ ） 2．若?ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA?OB?OC?0，则OA?OB?( ) A． B．0 C．1 D．? 22 3．点O在?ABC内部且满足?2?2?，则?ABC面积与凹四边形 ABOC面积之比是（ ） C． D． 243 4．?ABC的外接圆的圆心为O，若???，则H是?ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若?? ?CA?OC?AB，则O是?ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 ?ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H， OH?m(OA?OB?OC)， →→→→1ABACABAC→→→ 7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(+)·BC=0 =, 则 2→→→→|AB||AC||AB||AC|△ABC为( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知?ABC三个顶点A、B、C，若??????，则 ?ABC为（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C