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概率论与数理统计概率论与数理统计概率论部分1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)0, 称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.§5. 条件概率(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率问题.例1. 将一枚硬币掷两次, 观察其出现正反面的情况. 设 A—“至少有一次正面”,B—“两次掷出同一面”求： A发生的条件下B发生的概率.2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：1. 公式法：注当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.计算条件概率有两种方法:任取一只,不放回例3. 再任取一只3只一等品A—第一次取到的是一等品2只二等品B —第二次取到的是一等品, 求P(B|A).2. 缩减样本空间法： 在A发生的前提下, 确定B的缩减样本空间, 并在其中计算工B发生的概率, 从而得到P(B|A).例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 連取两次, 求在第1次取到偶数的条件下, 第2次取到奇数的概率.一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2),P(A1A2 ...An-1)0, 则有乘法公式:P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).(二) 乘法定理:推广P(AB)0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 每次任取一只球观察颜色后, 放回, 再放回a只同色球例4.r只红球○t只白球○在袋中连续取球4次, 试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.例5. 透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为获0.7, 若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9, 试求透镜落下三次而未打破的概率. SB2B1B3...Bn(三) 全概率公式和贝叶斯公式:1. 样本空间的划分注(1) 若B1,B2,…,Bn是样本空间S的一个划分,则每次试验中, 事件B1, B2, …, Bn 中必有一个且仅有一个发生.称为全概率公式.2. 全概率公式:3. 贝叶斯公式:说明利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的关键是找出样本空间的一个划分, 即完备事件组B1, …, Bn. 其要点为： (1) 事件A必须伴随着n个互不相容的事件B1, B2, ... , Bn之一发生, 求A的概率就可用全概率公式计算. (2) 如果我们已知事件A发生了, 求事件Bi(i=1, 2, …, n)的概率, 则用贝叶斯公式. 即用贝叶斯公式所计算的是条件概率P(Bi|A), i=1, 2, …, n.1只红球4只白球例2只红球3只白球3只红球123现从任意一箱中任取一球，求取得红球的概率。例7.某商店出售玻璃杯,每箱20只。假设其中各箱中有0, 1, 2只次品的概率依次为0.8 , 0.1 , 0.1 ,一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取一箱，顾客随机查看4只，若无次品便买下否则退回,试求:(1)顾客买下玻璃杯的概率 (2)顾客买下的这箱杯子中确实无次品的概率，设A,B是试验E的两事件,当P(A)0, 可以定义P(B|A).§1.6 独立性一般地, P(B|A)≠P(B), 但当A的发生对B的发生的概率没有影响时,有P(B|A)=P(B),由乘法公式有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).1. 定义: 设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B是相互独立的事件.2.定义推广: 设A1, A2, …, An是任意的1≤ij ≤ n有P(AiAj)=P(Ai)P(Aj), 则称这n个事件两两相互独立.由定义可知:1) 零概率事件与任何事件都是相互独立的.2) 由对称性, A,B相互独立, 必有B, A 相互独立.如果对于任意的k(k≤n), 任意的1≤i1i2…ik≤n都有: P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik), 则称这n个事件相互独立.3. 定理: 设A,B是两事件,且P(A)0,则A,B相互独立 的充要条件是:P(B|A)=P(B).有关结论:2. 计算相互独立事件的和的概率： 若已知n个事件A1, A2, …, An相互独立，则(续)古典概型概率的间接计算:三. 利用独立性计算古典概率:1. 计算相互独立的积事件的概率： 若已知n个事件A1, A2, …, An相互独立，则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)例1. 两架飞机依次轮番对同一目标投弹,