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天津中考圆的复习专题（13 年真题）圆的有关概念与性质，圆的切线的判定和性质，圆心角与圆周角之间的关系，垂径定理，圆与三角形和三角函数，四边形结合等题型；圆在天津中考的大题中显现在第22 题，分值是 8分；一，圆的基本概念圆的定义1． 描述性定义：在一个平面内，线段 形成的图形叫做圆，其中固定端点OA 天津中考 圆的复习专题（ 13 年真题） 圆的有关概念与性质，圆的切线的判定和性质，圆心角与圆周角之间的关系，垂径定理，圆 与三角形和三角函数，四边形结合等题型；圆在天津中考的大题中显现在第 22 题，分值是 8 分； 一，圆的基本概念 圆的定义 1． 描述性定义：在一个平面内，线段 形成的图形叫做圆，其中固定端点 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之旋转所 O 叫做圆心， OA叫做半径． 2． 3． 4． 集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径． 圆的表示方法： 通常用符号 ⊙ 表示圆， 定义中以 O 为圆心， OA为半径的圆记作 ”⊙O “，读作 ”圆 O “． 同圆，同心圆，等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心 圆；能够重合的两个圆叫做等圆． 留意：同圆或等圆的半径相等． 弦和弧 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧． 2 倍． A，B 为端点的圆弧记作 AB ，读作弧 AB ． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧，劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 二，垂径定理 圆的对称性 圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆 心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合． ⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心． 圆的旋转对称性 弦，弧，弦心距，圆心角之间的关系： 第 1 页，共 12 页 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，就其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：所对的两圆心角相等所对的两条弦相等所对的两条弧相等所对的两条弦的弦心距相等留意： ① 前提条件是在同圆或等圆中；② 在由等弦推出等弧时应留意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等．⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理1．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 1：⑴ 平分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；⑵ 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等， 就其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图： 所对的两圆心角相等 所对的两条弦相等 所对的两条弧相等 所对的两条弦的弦心距相等 留意： ① 前提条件是在同圆或等圆中； ② 在由等弦推出等弧时应留意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等． ⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴． 圆的轴对称性 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂径定理 1． 2． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论 1：⑴ 平分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3． 留意：应用垂径定理与推论进行运算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，依据垂径定理与勾股定理 a 2 ( ) ，依据此公式，在 2 2 r 2 d 有： a ， r ， d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． O r d a A B C 2 二点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有：点在圆上，点在圆内，点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的 大小关系打算． 设 ⊙O 的半径为 r ，点 P 到圆心 O 的距离为 d ，就有： 点在圆外 如下表所示： ；点在圆上 ；点在圆内 d r d r d r . 位置关系 图形 定义 性质及判定 第 2 页，共 12 页 Pr点在圆外点在圆的外部点P 在 ⊙O 的外部.drOrP点在圆上点在圆