高一数学函数和反函数的关系10教案.docVIP

2.4. 反函数（第二课时） 教学目的： 会利用互为反函数的定义，函数图象间的关系及相关性质解决有关问题. 教学重点：反函数性质的应用 教学难点：反函数性质的应用. 教学过程： 一、复习引入： 1．反函数的定义； 2．互为反函数的两个函数与间的关系： 定义域、值域互换，对应法则互逆，图象关于直线y=x对称；逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数. 3．反函数的求法：一解、二换、三注明 二、例题： 例1．求函数的值域． 分析：用“函数思想”求值域，即由y=f(x)求出x=,则使 有意义的y值的集合为原来函数的值域. 解：∵ ∴ ∴ y≠ ∴函数的值域为 例2. 已知=(x-1)，求； 解法1：⑴令=y=，则=，∵x-1，∴x=-;且y=0 ∴= -(x0)；∴ =-2. 分析：由反函数的定义可知y=与y=中，x,y互换，即 y=中的x为y=中的y, y=中的y为y=中的x，反之亦然.本题要求，即在函数=y=(x-1)中，当y=时，求x的值. 解法2：令=，变形得=1+3=4，又∵x-1，∴x=-2. 例3.如果单调增函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则交点必在直线y=x上. 证明：若点(a,b)是函数y=与它的反函数y=的图象有交点，则b=f(a),b=,. 若ab,则a=f(b)b=f(a),即f(b)f(a). ∵y=是增函数，∴ba,这与ab矛盾，∴ab不成立. （2）若ab, a=f(b)b=f(a),即f(b)f(a). ∵y=是增函数，∴ba,这与ab矛盾，∴ab也不成立. 综（1），（2）可得：a=b,即交点(a,b)在直线y=x上. 说明：题中的y=是单调增函数的条件不可少，反例见课件. 由例3的结论可知，若y=是单调增函数，则方程利用这一点，可以帮助解决一类较复杂的方程问题，如方程不易求解，这里，是单调增函数，且它的反函数是原方程等价于易得其解集为{1，2}. 例4.已知试求F（x）的最小值. 解： ∴F(x)的最小值是-90. 三、练习：课本P63－64练习：5，6，7 四、作业：课本P64习题2.4：3，4，5，6