暑假立体几何中的距离问题.docx

PAGE PAGE 1 / 16 立体几何中的距离问题 【要点精讲】 1．距离 空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的 求距离的重点在点到平面的距离， 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离； 求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度 点到平面的距离 平面外一点 P 在该平面上的射影为 P′，则线段 PP′的长度就是点到平面的距离；求法： ○1 “一找二证三求” ，三步都必须要清楚地写出来。 ○2 等体积法。 直线与平面的距离： 一条直线和一个平面平行， 这条直线上任意一点到平面的距离， 叫做这条直线和平面的距离； 平行平面间的距离： 两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法， 把所求的距离转化为点点距、 点线距或点面距求之， 其一般步骤是： ①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形． 若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。 异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线 a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA ′的长度为 d ，在 a 上有线段 A ′ E ＝ m ， b 上有线段 AF ＝ n ，那么 EF ＝ d 2 m2 n2 2mn cos  （“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面 : ①直接作面的垂线求解； ②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解 ⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。立体几何的高线做法 ①特殊图形的射影法；②一般图形的垂面法 空间距离的求法 ：（ 特别强调 ：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则） （ 1）异面直线的距离： ①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即 过其中一条直线作平面和另一条直线平行。 ③转化为求平面到平面的距离， 即过两直线分别作相互平行的两个平面。 （ 2）点到直线的距离： 一般用三垂线定理作出垂线再求解。 （ 3）点到平面的距离求法： ①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键； ②等体积法：转化为求三棱锥的高； ③等价转移法。 ④转化为平行直线上另一点到平面的距离 ;转化为平行平面上另一点到平面的距离 ;转化为与此相关的点到平面的距离 ,然后求出这两点到平面距离的比值 ; ⑤利用向量法 : d uuur r PA gn r n 例如 已知正方体 ABCD- A 1B1C1D 1 的棱长为 a ，则异面直线 BD 与 B1C 的距离为 （答： 3 a ）。转化为平行平面距离 . 3 练习（ 1）等边三角形 ABC 的边长为 2 2 ， AD 是 BC边上的高，将 ABD 沿 AD 折 起，使之与 ACD 所在平面成 120 的二面角， 这时 A点到 BC 的距离是 26 （答： ）； 2 （ 2）点 P 是 120°的二面角α -l -β内的一点，点 P 到α、β的距离分别是 3、4，则 P 到l 的 距离为 （答： 2 39 ）； 3 （3） 在正方体 ABCD —A 1B1C1D 1 的侧面 AB 1 内有一动点 P 到棱 A1B1 与棱 BC 的距离相等， 则动点 P 所在曲线的形状为 （答：抛物线弧） 。 例如： 如图， 在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 侧棱 PA⊥底面 ABCD ，AB= 3 ， BC=1 ， PA=2 ， E 为 PD 的中点 .在侧面 PAB 内找一点 N ，使 NE ⊥面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 . 解：在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F，则连 PF， ADF . 6 则在 Rt△ ADF 中 DF AD cos ADF 2 3 , AF 3 AD tan ADF 3 . 3 设 N 为 PF 的中点，连 NE ，则 NE//DF ， ∵ DF ⊥ AC， DF ⊥ PA，∴ DF ⊥面 PAC，从而 NE ⊥面 PAC. ∴ N 点到