近世代数课后习题详细答案(张禾瑞)5.pdf

近世代数课后习题参考答案 第五章 扩域 1 扩域、素域 1. 证明 : F (S) 的一切添加 S 的有限子集于 F 所得的子域的并集是一个域 . 证 一切添加 S 的有限子集于 F 所得的子域的并集为 1)若 a, b 则一定有 a F ( 1, , 2 , n ) b F ( 1, , 2 , m ) 易 知 a b F( 1, 2 , n , 1 , 2 , , m 但 F ( 1 , 2 , n , 1, 2 , , m ) 从而 b a 2)若 a, b ,且 b 0 则 b F ( 1, 2 , , m ) 1 从而有 ab F ( 1 , 2 , n , 1, 2 , , m ) ２ 单扩域 １． 令 E 是域 F 的一个扩域，而 a F 证明 a 是 F 上的一个代数元，并且 F (a ) F 证 因 a a 0 故 a 是 F 上 的 代 数 元 ． 其 次 ， 因 a F ， 故 F (a) F 易见 F (a ) F ，从而 F (a) F 2i 1 ２．令 F 是有理数域．复数 i 和 在 F 上的极小多项式各是什么？ 2i 1 i 1 F (i ) 与 F ( ) 是否同构？ i 1 2 2i 1 证 易知复数 i 在 F 上的极小多项式为 x 1, 2 5 i 1 在 F 上的极小多项式为 x x 2i 1 2 因 F (i ) F ( ) 故这两个域是同构的． i 1 ３．详细证明，定理３中 a 在域 F 上的极小多项式是 p(x) 证 令 是 F ( x) 中的所有适合条件 f (a) 0 的多项式作成 f ( x) 的集 合． 1) 是 F (x) 的一个理想 ( ⅰ) 若 f ( x), g ( x) 则 f (a) 0, g( a) 0 因而 f (a ) g (a) 0 故 f ( x) g (x ) ⅱ)若 f (x) , h(x) 是 F (x ) 的任一元 那么 h( a) f (a) 0 则 h(x) f (x) 2)是一个主理想 设 ( ) p x 是 中 a ！的极小多项式 1 1 / 7 那么，对 中任一 f (x ) 有 f (x) p (x)q( x) r (x) 1 这里 r (x)