随机变量、统计推断和随机过程.pptxVIP

随机变量、统计推断和随机过程;提要;第一节 随机变量和概率分布;一、随机变量及其概率分布;（二）概率分布;（三）分布函数 ; 随机变量的分布函数有如下性质： （1） ， ； （2） 若 ，则 ； （3） ； （4） ； （5） 。;（四）密度函数; 密度函数 满足： （1） ； （2） ； （3）若 是连续型随机变量 的分布密度，则对实数轴上的任一测度 ，有 ;（五）随机变量函数的概率分布; 当 是离散型随机变量时，其可能取值为 ，且 ，则 当 是连续型随机变量时，其分布密度函数为 ，则;二、多元分布和条件分布 ;（二）条件分布和随机变量的独立性 条件分布： 设 是一个随机变量，事件B 满足 ，则称 为在事件B发生的条件下 的“条件分布函数”，或简称“条件分布”。;随机变量的相互独立性： 如果 的联合分布函数等于所有一维边缘分布函数的乘积，即 那么称 是“相互独立”的。;三、概率分布的数字特征;（四）条件期望、全数学期望和条件方差 条件期望即给定条件下所考察随机变量的概率均值。 设 是随机变量 对事件B的条件分布函数，则当下列积分绝对收敛时，称 为 对事件B的“条件期望”。 ;全数学期望公式 若 是两两互斥的完备事件组，则有全数学期望公式 其中 可以是一般的随机事件，也可以是随机变量。;条件方差 给定随机变量X 和Y，以X为条件的Y的条件方差为： ;（五）高阶矩 仿照数学期望和方差，还可以进一步考虑更高阶的数字特征，称为“高阶矩”。 当 ，随机变量 和 的数学期望 和 （假设存在），分别称 为 随机变量 的“r阶原点矩”和“r阶中心矩”。 可以用高阶矩构造一些有用的特定统计量：偏度、峰度。 ;（六）协方差和相关系数 协方差 设随机变量 和 的均值和方差都存在，则 称为 和 的“协方差”（Covariance）。;相关系数 设随机变量 和 的均值和方差都存在，则 称为 和 的“相关系数”（Correlation coefficient）。 偏相关系数 计算偏相关系数要用到第二篇中的回归分析方法。;四、常见分布 ;（一）正态分布;正态分布是以数学期望为中心的对称分布 正态分布密度函数具有“钟形”特征 95%左右集中分布在期望加减2倍标准差范围 99%以上集中在期望加减3倍标准差范围内 正态分布偏度为 =0 正态分布密度函数有常峰态，峰度 接近3;标准正态分布 一般正态分布随机变量 变换成“标准正态分布” ： 密度函数： ;正态分布的检验; （二） 分布;（三）t分布;（四）F分布 ;六、随机变量的收敛性和极限理论;分布函数弱收敛： 对于分布函数序列{ }（为了简单起见，常常直接写成 ，如果存在函数 使得 在 的每个连续点上都成立，则称“ 弱收敛于 ”。 ; 依分布收敛： 设随机变量序列{ }的分布函数序列为{ }，随机变量 的分布函数为 ，如果 弱收敛于 ，则称“ 依分布收敛于 ”。 ;依概率收敛： 对于随机变量序列{ }和随机变量 ，如果 或 对任意的 成立，则称“ 依概率收敛于 ”。有时候