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数值分析考点整理 数值分析笔记整理 电子科技大学电子工程学院：黄健辉 在MATLAB中各种运算符的优先级顺序： ?(矩阵转置)、^(矩阵幂)和.(数组转置)、.^(数组幂) ?~(逻辑非) ?*(乘)、/(左除)、\(右除)和.*(点乘)、./(点左除)、.\(点右除) ?+、-(加减) ?: (冒号) ?、=、、=、~= ?(逻辑与) ?| (逻辑或) 变量名必须以字母开头，变量名的组成可以是任意字母、数字或者下划线，但不能含有空格和标点符号(如，。%等)。例如，“6ABC”、“AB%C”都是不合法的变量名。关键字(如if、while等)不能作为变量名。 Attention:syms与sym的区别： syms x y z(对)，但是sym x y z(错） A=sym([a,b; c,d]) (对），但A=syms([a,b; c,d]) (错） 1.舍入误差：机器字长有限，是算法误差的主要来源之一由计算机性能和算法过程所决定。 2.截断误差(方法误差) ——求近似解引起 用数值法求解数学模型不能得到精确解时，往往用简单代替复杂，或用有限过程代替无限过程所引起的误差。——是数值算法设计中主要考虑的误差。 总之，两种误差的来源不同，处理方式也不尽相同。截断误差由建立的模型完全决定，应结合具体算法进行分析；而舍入误差主要由计算机性能及算法过程所决定。 定义：若近似值x’的误差限是某一位的半 个单位，该位向左数到x ’的第一位非零数字共n 位，则称x ’有n 位有效数字。 关于有效数字的推论——与绝对误差、相对误差的关系 1. 推论1: 对于给出的一个n 位有效数，其绝对误差限不大 于其最末数字的半个单位。已知325413.0,325413*2 *1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知,n=6 5.01021,0,60016*1=?==-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 6 20*21021,6,00-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2.要使17的近似值的相对误差限≤0.1%, 应至少取_________位有效数字？ 17＝0.4…?10, a 1=4, εr ≤1 21a ?10-(n-1) 0.1%,故可取n ≥3.097, 即4位有效数字。 数值算法设计主要是处理好计算精度和计算速度问题 a.避免相近二数相减（易减小有效数字） b.避免小分母: 分母小会造成浮点溢出 c.避免大数吃小数.在浮点运算中，要对阶操作，可能造成小数有效数字溢出，影响结果。 d.简化计算步骤，减少运算次数(运算量)，避免误差积累。 e.选用稳定的算法 2.高斯消元法——（由消元过程和回代过程构成了高斯消元法。） 解线性方程组几种数值解法： 若．A．的所有顺序主子式 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．均不为 ．．．0．，则高斯消元无需换行即可进行到 底，得到唯一解。 ．．．．．．．．事实上，只要 A 非奇异，即A逆存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解。 3.矩阵分解法 (1).在方阵A的LU分解中, 方阵A的所有顺序主子不为 零,是方阵A能进行LU分解的充分条件；严格行对角占优阵 能进行LU分解；非奇异矩阵不一定能进行LU分解。 (2).设A是正定矩阵，则A的cholesky的分解唯一 L——单位下三角矩阵U——上三角矩阵 4.向量范数和矩阵范数 本章节只要理解范数的基本定义并会计算三种范数及谱半径就行了！ 5.迭代法 或者： 求解迭代矩阵除了可以用雅可比，高斯——赛德尔矩阵计算公式外，还可以利用定义进行巧妙的运算得出！ 计算雅可比迭代矩阵和高斯赛德尔迭代矩阵的谱半径-------即迭代矩阵特征值绝对值中最大的一个，如果有特征值为复数，就取该复数的模，然后再进行大小比较！ 注释：严格对角占优阵通俗来讲就是每一行对角元素的绝对值都大于同行其他元素绝对值的和！ 对于对称矩阵，它的谱半径就是该对称矩阵的2—范数 6.方程组的病态问题与误差分析 7.插值法与曲线拟合 差异：插值函数必须经过插值点，拟合函数不必经过拟合点 最常用的插值函数是：多项式函数 n X 结论：通过n+1个节点的n阶插值多项式唯一存在。 性质:拉格朗日多项式插值在本插值点值为1，其它插值点值为0。 用1 n+个作不超过n次的多项值插值，分别采用Lagrange插值方法与Newton插值方法所得多项式相等 二次插值的基函数： 构造三个插值基函数，使其满足： （1）基函数为二次多项式。 （2）函数值满足： 设l k(x)是关于互异节点x0,x1,…, x n, 的Lagrange 插值基函数， 则∑ =- n k k m k x l x x ) (