平面向量中的的最值阿波罗尼斯圆.docxVIP

三、阿波罗尼斯圆 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米徳被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平而轨迹》一书中，曾研究了众多的平而轨迹问题，其中有如下 结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆. 如图，点人3为两泄点，动点P满足PA = aPB，则久=1时，动点P的轨迹为直线：当H1时，动点P的轨迹 为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆. 证：设AB = 2m （mO\PA = APB?以A3中点为原点，直线43为x轴建立平而直角坐标系，则 A （-加,0） , B （m,0）.又设 C （x, y）,则由 PA = APB得 yj（x + m） 4 该方法从余弦泄理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高. +y2 = 2^（x-/?）2 + y2 , 两边平方并化简整理得（才一1） x2 - 2m （22+1） x + （才一1）），2=〃?2（1一才）， 4 该方法从余弦泄理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高. 当兄=1时.% = 0,轨迹为线段A3的垂直平分线; 当兄H1时,4曲2 当兄H1时, 4曲 长为半径的圆.,轨迹为以点（h—心0）为圆心, 长为半径的圆. /C _ 1 上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯宦理. 例1： （2008.江苏卷，13题）满足条件AB = ZAC = J2BC的AA3C的面积的最大值是（） 【解析1】显然这又是一例“阿波罗圆”，建立建立直角坐标系.因为有c = h2 = /2 ?代入 阿波罗圆公式得：（x-3）2 + y2=8o设圆心为M,显然CM丄兀轴时，A4BC而积最大，此时 |CM| = 2/2, /.（=1-2.272 =2^2. 【解析2】利用余弦定理和函数的最值问题处理 设 AC = 41BC = ,所以：cosC = ?匚 4 ?.匸，〔+ 严厂一一 2y/2x2 2 迈x A A/_ Y4 4- ?4x2 - 16 L 则：S = M肋sinC= ,所以：当x2=n时，Swc的最大值为2d? 以43中点为原点，直线43为兀轴建立平面直角坐标系，则A( — 1,0) ,B (h0), 设 C (x, y),由 AC = V2BC 得 Jd + lF+b =近?仏_1)2+于, 整理得：屮=_〒+6x — 1 = -(x — 3)2+8S8,???卜|52运, 则Swe =-x?2卜I 2^2 ,所以的最大值是2迈? 2 =r2 = AM - BM【解析4】 性质 =r2 = AM - BM 性质2：评注：既然存在，说明英轨迹不包括与x轴的两个交点P、Q,现在问P0这两点究竟有什么性质？ DA (JA 由于 莎=忑=迈，：?CP为AABC的内角平分线；同理，CQ为AABC的外角平分线。 这就是说P0分别是线段A3的内分点和外分点，而PQ1E是阿氏圆的直径。 于是阿波罗尼斯圆”在中国又被称为“内外圆”.因此，又有如下的轴上简洁解法： ???动点C到泄点力(-1,0)和3 (1,0)距离之比为血，则有lx + ll= V2IX-1I, =x2 +2x4-1 = 2(疋—2x+l) =x2 —6x+l =0=x = 3±2\/2 f ??.得心=3-2近为内分点，x2 =3 + 2^2为外分点.圆半径『=+(吃-州)=2血，即为三角形高的最大值，即 AABC高的最大值是2“.故AABC的面积的最大值是2^2 ? 例2： (2006,四川文8理6)已知两定点4(-2,0)5(1,0),如果动点p满足|凸=料,则点P的轨迹所包围的 而积等于( ) A?“ B. 4龙 C. 8zr D. 9兀 【解析】显然这又是一个阿波罗圆，由上述评注我们可以实行轴上解决。 设O为坐标原点，注意到|OA|=2|OB|,可知原点0为线段A3的内分点.设AB的外分点为C(x,0), 由舒=2n甘 = 2=x = 4,即有C(4,0).于是圆直径为|OC| = 2厂=4,.??广=2,所求轨迹面积 S = qT =4兀，故选B. 评注：本题条件中的关于〉轴不对称，所以直接用阿波罗圆公式不恰当，但由于知道轨迹一泄是圆，圆面积只 2cA 1 3 与半径有关，而半径公式为r = -T7P当c = -|/lB| = -,2 = 2时，直接代入即得r = 2o 例3： △ABC中，角C的平分线交A3于点T、且AT = 2JB = \若AB h的髙线长为2,求AABC的周长. 【解析】直角坐标系，由条件知兄=的外分点为G(x,O), V^l = —GB a — 1聲爵2,故点C 【解析】直角坐标系，由条件知兄= 的外分点