大题专练训练36：导数（构造函数证明不等式1）-2021届高三数学二轮复习.docVIP

二轮大题专练36—导数（构造函数证明不等式1） 1．已知a是常数，函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）若0＜a＜1，证明：f（ea）＞﹣1． （1）解：函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x的定义域为（0，+∞），又， ①当a≤0时，令f（x）＝0，解得x＝1，当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ②当a＞0时，令f（x）＝0，解得x＝1或x＝2a， （i）当2a＜1，即时，当2a＜x＜1时，f（x）＜0，当0＜x＜2a或x＞1时，f（x）＞0，故f（x）在（2a，1）上单调递减，在（0，2a），（1，+∞）上单调递增； （ii）当2a＝1，即时，f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增； （iii）当2a＞1，即时，当1＜x＜2a时，f（x）＜0，当0＜x＜1或x＞2a时，f（x）＞0，故函数在（1，2a），上单调递减，在（0，1），（2a，+∞）上单调递增． （2）证明：f（ea）＝a（ea﹣a2）﹣ea，要证f（ea）＞﹣1，即证a（ea﹣a2）﹣ea＞﹣1，即证（a﹣1）ea＞a3﹣1，因为0＜a＜1，也就是证明ea＜a2+a+1，即证， 下面证明成立， 令g（a）＝（0＜a＜1），则，当0＜a＜1时，g（a）＞0，故g（a）在（0，1）上单调递增，所以g（a）＞g（0）＝1，即成立． 故f（ea）＞﹣1． 2．已知函数为常数）． （1）若曲线在处的切线方程为，求，的值； （2）讨论函数函数的单调性； （3）当，时，求证：． 解：（1），（1），（1）， 曲线在处的切线方程为： ， 即：， 由题意：，， ，； （2）， ， 当时，在上恒成立； 当时，令，即，解得， 令，即，解得． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减． （3）证明：令， 则，令， 则，令得： 令得：， 在上单调递减，在上单调递增 ，（1）（1），， ， 存在使， 且当或时，， 当，时，， 在上递增，在，上递减，在上递增， 又（1），所以有：，即， ． 3．已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）当且时，求证：． 解：（1）由题意，得分 ①若，令，得，令，得 故函数在上单调递减，在上单调递增；分 ②若，令，得，令，得 故函数在上单调递增，在上单调递减；分 ③若，令，为常量函数，不存在单调性分 （2）证明：当时，，则证，即证， 不等式两端同时除以，即证，得，分 记函数，则． 设， 当时，，所以函数在上单调递增． 所以当时，（1）分 所以， 所以函数在上单调递增． 所以（1）， 即成立， 故得证分 4．已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）设函数，当时，若函数的极大值点为，证明：． 解：（1）的定义域为， ， ①当时，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ②当时，由，解得，， 此时， 当，，时，，函数单调递减， 当，，，函数单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，在，，时，单调递减， 在，，单调递增． 证明：（2）， ， 当时，即或时，令， 则的两个根为，， 函数的极大值点为， ， 又，， ，， 由，可得，则， ，， 令，， ， ，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在，上单调递减， ， 在上单调递减， （1）， 故． 5．已知函数，． （1）证明：当时，； （2）若，求． 解：（1）证明：， ， ， 考虑到，， 所以①当，时，，此时， ②当，时，，所以单调递增， 所以， 所以函数单调递减，， ③当，时，，所以单调递增， 所以， 所以函数单调递增，， 当，时，， 综上所述，当时，． （2）构造函数， 考虑到，， ， ， 由（1）可知：在时恒成立， 所以在，上单调递增， ①若，则在，为负，为正， 在，单调递减，递增， 所以， 而当时，， 故满足题意． ②若，， 因为， 所以， 由零点存在定理，必存在，，使得， 此时满足时，，单调递减， 所以，矛盾，舍去， ③若，， 因为当时，， 所以当时，， 此时必存在，使得， 此时满足，时，，单调递增， 所以，矛盾，舍去， 而当时，当， 所以在，时，成立，单调递增，，矛盾，舍去． 综上所述，． 6．已知函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）当时，证明：． （Ⅰ）解：因为， 所以， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，则，所以， 令，则，所以， 所以的增区间为，减区间为． 综上：当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当时，，， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故（1）， 所以 又因为， 所以 则，