大题专练训练35：导数（最值与极值问题）-2021届高三数学二轮复习.docVIP

二轮大题专练35—导数（最值与极值问题） 1．函数． （1）讨论在其定义域上的单调性； （2）设，，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围． 解：（1）函数定义域为， ， 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 当时，在内有相异两根， 设，，， 令所以，或；令，； 在上递增，在，上递减， 在，上递增． （2）依题意可知，在内有相异两根， 所以△，又，可得， 此时设的两根为，， ，， ，， 由，且，得． ， 由，得代入上式， 得， 令，所以，， 则，， 在上为减函数， 从而，即， ． 2．已知函数． （1）当时，求在点，处的切线方程； （2）若有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明的极小值小于． 解：（1）当时，． ，． 又，在点，处的切线方程为． （2）①的定义域为， ． 令，△，的对称轴． 当△时，即，，故， 在上单调递增．此时无极值． 当△时，即， ，， 函数在区间有两个变号零点，， 不妨设，其中，． 当时，，，在上单调递增； 当时，，，在，上单调递减； 当时，，，在，上单调递增． 当有两个极值点时，的取值范围为． ②由①可知，函数有唯一的极小值点为，且． 又，． ．． 令， 在上恒成立， 在单调递减． ，即的极小值小于． 3．已知 （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，讨论函数的单调增区间； （3）是否存在负实数，使，，函数有最小值？ 解：（1）当时，，， 由，解得或； 由，解得， 故函数的单调减区间为：，，单调增区间为：； （2）， ①当，由得到，即增区间为； ②当，，得到，即增区间为，； ③当，，得到或，即增区间为，，， ④当，，即增区间为； ⑤当，，得到或，即增区间为，． （3）假设存在负实数，使，，函数有最小值． 因，由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间，上是分类“契机” ①当，当，，，递增，， 即，解得； ②当，由单调性知：，化简得：，解得 ，不合要求． 综上，存在这样的负数，且为所求． 4．已知函数． （1）若是函数的一个极值点，求实数的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当且时，求证：函数的最小值小于． 解：（1）， ， 依题意有，即，解得：； （2）， 当，即时，由，得或； 由，得， 故在，上单调递增，在，上单调递减． 当，即时，在上恒成立，故在上单调递增， 当，即时，由，得或；由，得，故在，，上递增，在上递减． （3）当，且时，由（2）知函数在上递减，在，上递增， 所以时，， 令（a），， 则（a），， 则（a）在上恒成立， 所以（a）在上是减函数，所以（a）（2）， 所以（a）在上是减函数，所以（a）（2）， 即函数的最小值小于． 5．已知函数． （Ⅰ）若在处取到极值，求的值及函数的单调区间； （Ⅱ）若，求的取值范围． 解：（Ⅰ）函数的定义域是，， 在处取到极值，，解得：， 时，，， 故在递增，而， 故时，，时，， 在递减，在递增， 故是的极小值点，符合题意； （Ⅱ）结合（Ⅰ），令，得， 即存在，使得①，两边取对数得：， 使得时，，，时，， 故在递减，在，递增， 故， ①两边取对数得：，② 结合①②故， 令，则，则， 故在递减，而（1）， 故时，，即时，， 此时，． 6．已知函数与在公共点处有共同的切线． （1）求实数的值； （2）设，若存在，使得当，时，的值域是，，求实数的取值范围． 解：（1），，（1分） 由题意知（1）（1），（2分） 即，得．（3分） （2）由题得，定义域为， ．（4分） ①当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当，时，（1）， 的值域是，，不符合题意；（6分） ②当时，， （ⅰ）当，即时，在上单调递减，符合题意，（7分） （ⅱ）当，即时，，的变化情况如下： 1 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 只需满足（2）（1），且， 解得；（9分） （ⅲ）当，即时，，的变化情况如下： 1 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 若满足题意，只需满足，即， 即只需满足， 设，，所以（a）在上单调递增， 所以当时，， 所以满足题意；（11分） 综上，实数的取值范围是．（12分）