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几个著名不等式 1 著名不等式 柯西不等式 对于任意两组实数 和 有 上述不等式只有当 时，等号才能成立． 证明 因为对任意 x ，有 将上式展开得 上述二次三项式对任意 x 均大于等于 0，故其判别式不能大于 0，所以 当判别式等于 0 时，上述方程有重根，设重根为 x=k ，则 这时 所以上述不等式只有当 时等号才能成立。 如令 ，则得 柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积．若 则 其中 例 １ 若 都是正数，求证 证明 构造两个实数列 则由 柯西不等式 得 即 *赫勒德尔不等式 由柯西不等式 可得 但 所以有 同理有 一般地有 现在证明上述不等式对任意不等于 2m 的正整数 也成立（假定所有数列均为正数列）． 设 共 k 个实数列 设 共 k 个 再令 则有 但 所以 所以 即该不等式对任意不等于 2m 的整数 k 也成立． 上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明． 由证明知，不等式 对无穷多个自然数 k=2m 成立． 现在假设不等式对 m=k 成立． （是k 个数列）≤ 但是 左边 所以 即不等式对 m= k-1 也成立。由反归纳法知，不等式对任意整数 k 均成立． 例 ２ 设非负实数 满足 求证 ． 证明 当 n=1 时，结论显然正确． 假设命题在 n=k 时正确，非负实数 满足 则 成立． 现设 为 k+1 个非负实数，满足 + 要证 令 ，则由归纳假设 但是，因为 ，所以 所以 证毕 如果令 ． 这里 均为正实数，则得 现在证明下面不等式 其中 均为正有理数，且 证明 上面的不等式称为赫勒德尔不等式．当 为正无理数且满足条件 时，上述不等式 当然也成立，只要根据“每一无理数都有理数的极限”，便可证明． 最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式． 对于 ，得 即 于是有 所以 上式是两个实数列的赫