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泰勒级数展开若干方法 何琼（绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000） 摘要： 泰勒级数的各项是由结构简单、性质明了的幂函数组成．把一个函数展开成泰勒级数或幂级数，有着广泛的应用．本文对泰勒级数的若干展开方法进行探究、综述，有助于我们对这部分知识的深入理解．关键词： 泰勒级数；幂级数；余项 §１ 引言 泰勒级数是数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（１）幂级数的收敛理论；（２）如何把一个函数展开成泰勒级数．本文是对后者进行较全面的归纳和总结．我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．直接展开法可按下列步骤进行： 第一步：求出函数的各阶导数 f (x), f (x),L f (n) (x),L; 第二步：求函数? (χ)及其各阶导数在 f (x0 ), f (x0 ), f (x0 ),L f (n) (x0 ),L; 第三步：写出泰勒级数 f (x0 ) + f (x0 )(x ? x0 ) + f (x 0 ) (x ? x0 )2 + L+ f (n) (x 0 ) (x ? x0 )n + L 2! n! 第四步：考察余项 Rn (x) 在 x0 的某一领域U (x0 ) 内极限是否为零. 按照 Taylor 定理，直接展开法是一种基本的方法，但有时是比较繁杂的方法，实际应用中通常利用间接展开法. 1 代换法 这种方法的特点是：进行适当变量替换使得被展函数符合某个已知泰勒展开式．这是一种在实际应用中被广泛使用的间接展开法． 例1 求 e x 处 x = 1的泰勒级数 解 已知 et 在 t = 0 处的泰勒级数为 et = 1 + t + t 2 + L+ t n + L， x ∈ (?∞,+∞) n! 2! e x = e x?1+1 = e ? e x?1 设 t = x ?1代入（1）得 ∞ (x ?1) n e x = e∑ ， x ∈ (?∞,+∞) n! n=0 2 等比级数求和法 利用公式 1 = 1 + x + x 2 + L+ xn + L 由于本公式应用广泛， 1 ? x 所以专列一条. 1 例2 将 f (x) = 1 在 x = 2 处展开成泰勒级数 3x ? 2 解 1 = 1 = 1 1 = 1 1 3x ? 2 3(x ? 2) + 4 3 3 4 1 + (x ? 2) 4 1 ? [? (x ? 2)] 4 4 1 3 3 3 2 10 = {1 ? (x ? 2) + [? (x ? 2)]2 + [? (x ? 2)]3 + L} x ∈ (? , ) 4 4 4 3 3 4 1 3 (x 32 (x ? 2) 2 33 (x ? 2) 3 = ? ? 2) + ? + L 4 42 43 44 ∞ (?1)n 3n n 2 10 = ∑ (x ? 2) , x ∈ (? , ) 4 n+1 3 3 n=0 3 逐项微分法 应用泰勒级数在收敛区间内可“逐项微分”的性质， 将被展函数视为泰勒级数已知的函数的导函数而间接展开. 例3 解  1 ∞ 1 已知 = ∑ x n , x ∈ (?1,1) ，求 在 x = 0 处的泰勒级数，x ∈ (?1,1) 1 ? x (1 ? x) n n=0 1 d 1 d ∞ ∞ d = ( ) = (∑ x n ) = ∑ (x n ) (1 ? x) 2 1 ? x dx dx n=0 n=0 dx ∞ ∞ = ∑nx n?1 = ∑(n +1)xn x ∈ (?1,1) n=1 n=0 1 1 d 1 1 d ∞ = [ ] = [∑(n +1)x n ] x ∈ (?1,1) (1 ? x) 3 2 dx (1 ? x) 2 2 dx n=0 1 ∑∞ (n +1)nx n?1 = ∑∞ (n + 2)(n +1)x n 2 n=0n=02! ．．．．．． 1 1 d 1 1 ∞ d (n + k ?1)L(n +1) = [ ] = ∑ [ x n ] (1 ? x) k +1 k dx (1 ? x) k dx k n=0 (k ?1)! ∞ (n + k)L(n +1) = ∑[ xn x ∈ (?1,1) n=0 k! 4 逐项积分法 应用泰勒级数在收敛区间内可“逐项积分”的性质，将被展函数视为泰勒级数已知的函数的原函数而间接展开. 例4 将 f (x) = arctgx 在 x = 0 处展开成泰勒级数. 解 Qarctgx = ∫0x 1 1 + x 2 1 ∞ 而由法 2 知 = 1 ? x2 + x 4 ? x6 + L = ∑(?1)n x 2n x ∈ (?1,1) 1 + x 2 n=0 1 ∞ ∴ arctgx = ∫0