大一高数期末复习课提纲(很有用).docxVIP

第一章 极限与连续 单调有界必有极限 极限存在准则 夹逼定理 lim sin x = 1 x→0x 1 两类重要极限 lim(1 + )x = e x→∞ x 有限个无穷小的和,积仍是无穷小 无穷小 性质 与 无穷小与有界量的积仍是无穷小 等k 阶) 无穷大 比较 (高 低 同 阶, 阶, 阶, 价, 1 常用等价无穷小 ex ? 1 ~ x sin x ~ x tan x ~ x ln(1 + x) ~ x 1 ? cos x ~ x2 2  x → 0, ax ? 1 ~ x ln a arcsin x ~ x arctan x ~ x (1 + x)α ? 1 ~ αx tan x ? sin x ~ x3 2 2 (1) 消去零因子法; (2) 同除最高次幂; (3) 通分; 同乘共轭因式; (5) 利用无穷小运算性质 (6) 复合函数求极限法则 (7) 利用左、右极限求分段函数极限; 极 (8) 利用夹逼定理; 限 的 (9) 利用两类重要极限; 求 (10) 利用等价无穷小代换; 法 (11) 利用连续函数的性质(代入法); (12) 利用洛必达法则. 洛必达法则+等价无穷小代换洛必达法则+变上限积分求导 3 例 lim 1 + tan x ? 1 + sin x etan x ? esin x x→0 = lim tan x ? sin x 1 + sin x )(etan x ? esin x ) x→0 ( 1 + tan x + = 1 lim tan x ? sin x = 1 lim tan x ? sin x esin x (etan x ?sin x ? 1) 2 x→0 etan x ? esin x 2 x→0 当 x → 0, etan x?sin x ? 1 ~ tan x ? sin x, 故 原式 = 1 lim tan x ? sin x esin x (etan x ?sin x ? 1) 2 x→0 = 1 lim tan x ? sin x = 1 e sin x (tan x ? sin x) 2 2 x→0 4 两对重要的单侧极限 1 1 (a 1) lim a x = 0, lim a x = ∞, x→0? x→0+ lim arctan 1 = ? π , lim arctan 1 = π . x 2 x→0? x→0+ x 2 一类需要注意的极限 lim x2 + 1 = ?1, lim x2 + 1 = 1. x x x→?∞ x + 5 lim f ( x) = f ( x0 ) x→x0 连续的定义 左连续、右连续 第一类间断 (可去型, 跳跃 间断点的分类 型) 第二类间断 (无穷型, 振荡 型) 最大,最小值定理 闭区间连续函数的性质 有界性 , 零点定理 介值定理 6 1 例 求 f ( x) = 的间断点, 并指出其类型. 1 ? e x 1? x 解 当 时 函数无定义, 是函数的间断点 . x = 0, x = 1 , 1 x = 0, 由于 lim f ( x) = lim = ∞, x x→0 x→0 1 ? e 1? x 所以 x = 0 是函数的第二类间断点, 且是无穷型. x = 1, 由于 lim f ( x) = lim 1 = 0 x x → 1? x→1? 1 ? e 1? x → + lim f ( x) = lim 1 = 1 x x → 1+ x→1+ → ?∞ 1 ? e 1? x 所以 x = 1是函数的第一类间断点, 且是跳跃型. 7 例 求 f ( x) = (1 + x) sin x 的间断点,并判别其类型. x ( x + 1)( x ? 1) x = ?1, x = 1, x = 0是间断点, x = ?1, lim (1 + x)sin x = 1 sin 1 , x ( x + 1)(x ? 1) 2 x→ ?1 = –1为第一类可去间断点 x = 1, lim f ( x) = ∞ , x→ 1 x = 1为第二类无穷间断点 x = 0, lim f ( x) = ?1, lim f ( x) = 1. x→ 0+ x→ 0? = 0为第一类跳跃间断点 8 1 例 求y = 2 x ? 1 + sin( x ? 1) sin 1 的间断点, 1 x ? 1 2 x + 1 并判断其类型. : 可知 x = 0，x = 1是可能的间断点. (1) 在x = 0处 lim y = ?1 + sin2 (?1)，lim y = 1 + sin2 (?1) x→0? x→0+ 因在x = 0处的左右极限都存在, 但不相等 所以x = 0为函数的第一类间断点,且