2016届数学一轮文科人教A版课时作业第九章平面解析几何探究课6含答案.docxVIP

(建议用时： 80 分钟 ) x2 y2 1．椭圆 a2＋ b2＝1(a＞b＞0)与直线 x＋ y－1＝0 相交于 P，Q 两点，且 OP⊥OQ(O 为原点 )． 1 1 (1)求证： a2＋ b2等于定值； (2)若椭圆的离心率 e∈ 3 ， 2 ，求椭圆长轴长的取值范围． 3 2 (1)证明 由 b2x2＋ a2y2＝a2b2， 消去 y， x＋y－1＝0 得(a2＋b2)x2－ 2a2x＋a2(1－b2)＝ 0，① ∵直线与椭圆有两个交点，∴ ＞0， 即 4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞ 0? a2b2(a2＋ b2－1)＞ 0， ∵a＞b＞0，∴ a2＋ b2＞1. 设 P(x1 ，y1)， Q(x2，y2)，则 x1 、 x2 是方程①的两实根． 2 2 2 2a a 1－b 由 OP⊥OQ 得 x1x2＋ y1y2＝0， 又 y1＝ 1－ x1，y2＝1－x2， 得 2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③ 式②代入式③化简得 a2＋b2＝ 2a2b2.④ 1 1 ∴a2＋b2＝2. (2)解  利用 (1)的结论，将  a 表示为  e 的函数 c 2 2 22 由 e＝a? b ＝ a －a e ， 代入式④，得  2－e2－2a2(1－e2)＝0. 2 2－e2 1 1 ∴a ＝ 2 1－e2 ＝2＋ 2 1－e2 . 3 2 5 2 3 ∵ 3 ≤e≤ 2 ，∴ 4≤a ≤2. 6 ∵a＞0，∴ 2 ≤a≤ 2 . ∴长轴长的取值范围是 [ 5， 6]． x2 y2 2 2 2．已知椭圆 a2＋b2＝ 1(a＞0， b＞ 0)的左焦点 F 为圆 x ＋y ＋ 2x＝0 的圆心，且椭 圆上的点到点 F 的距离最小值为 2－1. (1)求椭圆方程； 5 (2)已知经过点 F 的动直线 l 与椭圆交于不同的两点 A，B，点 M －4，0 ，证明： → → MA·MB为定值． (1)解 化圆的标准方程为 (x＋ 1)2＋ y2＝1， 则圆心为 (－ 1,0)，半径 r ＝1，所以椭圆的半焦距 c＝ 1. 又椭圆上的点到点 F 的距离最小值为 2－1，所以 a－c＝ 2－ 1，即 a＝ 2， 则 b2＝ a2－c2＝ 1， 2 故所求椭圆的方程为 x2 ＋y2＝1. (2)证明 ①当直线 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x＝－ 1. A －1， 2 ，B －1，－ 2 可求得 2 2 . → → 5 2 · 5 2 ＝－ 7 此时， MA· ＝ － ＋ ， . 1 4 2 1 4 2 16 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 y＝k(x＋ 1)，y＝ k x＋1 ， 由 x2＋y2＝1， 得 (1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 2 2 2 －2 设 A(x1 ，y1 ， 2 ，y2 ，则 1＋x2＝－ 4k 2， x1 2＝ 2k 2 ) B(x ) x 1＋ 2k x 1＋2k . 因为 → → ＝ x 1＋ 5， y1 ＋5，y2 ＝ x1 ＋5 ＋5 ＋ y1 2 MB 4 4 4 4 y ＝x1 2＋5 1＋ x2 ) ＋ 5 2＋k(x1＋1) ·k(x2＋1) x 4(x 4 ＝(1＋k2)x1x2＋ k2＋5 (x1＋x2)＋ k2＋25 4 16 2 2k2－2 2 ＋ 5 － 4k2 2 25 ＝(1＋k ) · 2 k 4 2 ＋ k ＋ ＋ ＋ 2k 16 1＋2k 1 －4k2－2 25 25 7 ＝ 1＋ 2k2 ＋16＝－ 2＋16＝－ 16. → → 为定值，且定值为－ 7 所以，综上得 MA· 16. MB ． ·北京卷 ) 已知椭圆 C：x 2＋ 2y2＝ 4. 3 (2014 (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点．若点 A 在直线 y＝ 2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥ OB，求线段 AB 长度的最小值． x2 y2 解 (1)由题意，知椭圆 C 的标准方程为 4＋ 2 ＝1. 2 2 2 2 2 所以 a ＝4，b ＝2，从而 c ＝ a －b ＝2. 因此 a＝ 2， c＝ 2. 2 故椭圆 C 的离心率 e＝ a＝ 2 . (2)设点 A，B 的坐标分别为 (t,2)，(x0， y0)，其中 x0≠ 0. → → 因为 OA⊥ OB，所以 OA·OB＝ 0，即 tx0＋2y0＝0， 2y0 解得 t＝－ x0 . 又 x20＋ 2y20＝ 4， 所以 |AB|2＝(x0－t)2＋ (y0－2)2 2y0 2 ＝ 0＋ 2 2 2 2 4y0 ＋4 ＋ (y0－ 2) ＝x0＋ y0＋ 2 x x0 x0 2 4－x 2 2 0 0 ＝x0＋ 2 ＋