2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.1.2Word版含答案[001]正式版.docxVIP

4.1.2 圆的一般方程 学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点 .2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程， 并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 .3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 知识点 圆的一般方程 思考 1 方程 x2＋ y2－ 2x＋ 4y＋ 1＝0， x2＋ y2－ 2x＋ 4y＋ 6＝ 0 分别表示什么图形？ 2 2 2 2 答案 对方程 x ＋y － 2x＋ 4y＋ 1＝0 配方， 得(x－1) ＋( y＋2) ＝ 4，表示以 (1，－ 2)为圆心， 2 为半径的圆， 2 2 2 2 对方程 x ＋ y － 2x＋ 4y＋6＝ 0 配方，得 (x－ 1) ＋ (y＋ 2) ＝－ 1，不表示任何图形． 2 2 思考 2 方程 x ＋ y ＋Dx ＋ Ey＋ F ＝0 是否表示圆？ 答案 对方程 x2＋y2＋Dx ＋ Ey＋ F ＝0 配方并移项，得 (x＋ D 2 ＋(y＋ E 2 D 2＋ E2－ 4F ， 2 ) 2 ) ＝ 4 ①当 D2＋ E2－ 4F＞ 0 时，方程表示以 (－ D ，－ E)为圆心， 1 D 2＋E2－ 4F为半径长的圆； 2 2 2 ②当 D2＋ E2－ 4F＝ 0 时，方程只有实数解 x＝－ D， y＝－ E，它表示一个点 (－ D，－ E )； 2 2 2 2 ③当 D2＋ E2－ 4F＜ 0 时，方程无实数解，它不表示任何图形． 梳理 方程 条件 图形 x2 ＋ y2 ＋ D 2＋E2－ 4F0 不表示任何图形 2 2 D E －4F＝0 表示一个点 (－ ，－ Dx ＋ Ey＋ D ＋ E 2 2 ) F＝ 0 D 2 2 表示以 ( － D ，－ E 1 2 2 － 4F为半径的圆 ＋E － 4F0 2 2 )为圆心，以 2 D ＋ E 类型一 圆的一般方程的概念 2 2 2 例 1 若方程 x ＋ y ＋ 2mx－ 2y＋m ＋ 5m＝ 0 表示圆， 求实数  m 的取值范围， 并写出圆心坐标 和半径． 解 由表示圆的条件， 得 (2m)2＋ (－ 2)2－ 4(m2＋ 5m)0， 1 解得 m ， 1 即实数 m 的取值范围为 (－ ∞ ， ) ． 5 圆心坐标为 (－ m,1)，半径为 1－ 5m. 反思与感悟 形如 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋F ＝ 0 的二元二次方程， 判定其是否表示圆时可有如下两 种方法 (1)由圆的一般方程的定义，令 D 2＋ E2 －4F0 成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 应用这两种方法时，要注意所给方程是不是 x2＋y2＋ Dx ＋Ey＋ F＝ 0 这种标准形式，若不是， 则要化为这种形式再求解． 跟踪训练 1 (1) 已知 a∈ R，方程 a2x2＋ (a＋ 2)y2＋ 4x＋ 8y＋ 5a ＝ 0 表示圆，则圆心坐标为 ________，半径为 ________． (2)点 M、N 在圆 x2＋ y2＋ kx＋ 2y－4＝ 0 上，且点 M、N 关于直线 x－ y＋ 1＝ 0 对称，则该圆的 面积为 ________． 答案 (1)( － 2，－ 4) 5 (2)9π 解析 (1) 由圆的一般方程的形式知， a＋ 2＝a2，得 a＝2 或－ 1. 当 a＝2 时，该方程可化为 x2＋ y2＋ x＋ 2y＋5＝ 0， 2 D2＋ E2－ 4F＝ 12＋ 22－ 4×52＜ 0， ∴ a＝2 不符合题意． 当 a＝－ 1 时，方程可化为 x2＋ y2＋ 4x＋ 8y－5＝ 0， 即 (x＋ 2)2＋ (y＋ 4)2＝ 25， ∴ 圆心坐标为 (－2，－ 4)，半径为 5. 2 2 k (2)圆 x ＋ y ＋ kx＋ 2y－4＝ 0 的圆心坐标为 (－ ，－ 1)， 由圆的性质知，直线 x－ y＋ 1＝ 0 经过圆心， ∴ －2k＋ 1＋ 1＝ 0，得 k＝ 4， 2 2 1 2 2 ∴ 圆 x ＋y ＋ 4x＋ 2y－ 4＝0 的半径为 4 ＋ 2 ＋ 16＝ 3， ∴ 该圆的面积为 9π. 类型二 求圆的一般方程 例 2 已知 A(2,2) ，B(5,3)， C(3，－ 1)． (1)求△ ABC 的外接圆的方程； (2)若点 M(a,2)在△ ABC 的外接圆上，求 a 的值． 解 (1) 设 △ABC 外接圆的方程为 x2 ＋y2＋ Dx ＋Ey＋ F＝ 0， 22＋ 22 ＋ 2D ＋ 2E＋ F＝ 0， 由题意，得 52＋ 32＋ 5D＋ 3E＋ F＝0， 32＋ － 1 2＋ 3D－ E＋F＝ 0， D＝－8， 解得 E＝－ 2， F＝12. 即 △ABC 的外接圆的方程为 x2＋y2－ 8x－ 2y＋12＝ 0. (2