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波动和电磁场理论 基础 目录 TOC \o 1-5 \h \z HYPERLINK \h \z V \70 = \7钿 （2」2） VxVxA = V（V A）-V2A （2」3） 拉普拉斯算子V2作用于标量（仍未标量）称为标性拉普拉斯算子,由式（2.12） 有： (2.14)V72 _ V7 V7 - $ 52 (2.14) V八Ik莎F 拉普拉斯算子，作用于矢量（仍为矢量）称为矢性拉普拉斯算子，由式（2.13） 有： V2A = V（V ,4）- V X V X A （2」5） 对于无旋场戶=-X70有▽戶=-⑺0 = VV = -▽戶，▽戶是矢量场戶的 散度源。当▽斤H 0即己知矢量场戶的散度源吋，称式= -VF为标量位函 数0的泊松方程。半▽戶二0即在所讨论的区域内矢量场戶无散度源时，称式 VV = 0为0的拉普拉斯方程。此吋由于VF=0又▽xKo,所以戶是无源无旋 的，称这种场为调和场。求解0的泊松方程或0的拉普拉斯方程，即可得到标量 位函数0的解。 对于无源场尸=V X刁有V X F = V X V X = V（V - V2^, V X A是 矢量场戶的漩涡源。由于无源场的矢量位函数不是唯一的，它们相差当任一?标量 场的梯度。所以要想唯一的确定力，除了要知道漩涡源Vx.4,还要知道▽力， 在给定一种▽力（称为一种规范）如库仑规范▽刁=0吋，得到式 V2^ = -V x A o V x 0即己知矢量场戶的漩涡源时，称式▽可=-V x F为 矢量位函数力的泊松方程。当▽ x戶二0即在所讨论的区域内矢量场戶无漩涡源 时，称式▽为=0为力的拉普拉斯方程。求解力的泊松方程或力的拉普拉斯方程, 即可得到矢量位函数力的解。 2.2.3亥姆霍兹定理 对于矢量场，散度反应表示矢量场在各点处的通量源（取决于场矢量的各个 分量沿各自方向上的变化率），旋度表示矢量场在各点处的漩涡源（取决于场矢 量在与Z正交方向上的变化率）。因此，矢量场的散度和旋度一旦确定，就以为 这矢量场的通量源和漩涡源都确定了，那么由源激发的场也就确定了。 亥姆霍兹定理简述为：若矢量场戶在无限空间屮处处单值，且其导数连续有 界，而场源分布在有限的区域屮，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并口，矢 量场尸可表示为一个无旋场斤=-V0与一个无源场E = Vx^之和，即 尸二斤 + E 二 一V0 4- V X （2」6） 亥姆霍兹定理告诉我们：在无限空间屮的矢量场由它的散度和旋度唯一确 定。无穷远处的场为0,空间有限区域内的场由散度、旋度和边界条件唯一确定, 其小边界条件反映了边界上的源对区域内场的作用。 由于散度和旋度对于矢量场如此重要的决定作用，我们通常称矢量场的散度 和旋度满足的关系式为矢量场基木方程的微分形式，而积分形式则有矢量场的通 量和环量满足的关系来表示。 2.3麦克斯韦方程组 2.3.1电磁场的源量及场量 电荷和屯流都是形成电磁场的源。在研究带电体电荷（净电荷）分布时，常 用到电荷密度的概念，以体电荷为例，电荷密度表示某点处（求导，平均密度用 除法）净电荷的体密度。相应的也有电荷而密度和线密度的概念。 防 lim 虫~ =坐 （2.17） av-o AV dV q= [pdV （2」8） 屯荷运动形成屯流，电流的强弱用电流强度表示。电流强度代表的是某时刻 通过一横截面的电荷量的多少，它并不能表示空间各点处电流的分布，为此引入 电流密度了的概念（以体电流而密度为例），，电流密度表示某点处垂直于电流方 向上单位而积的电流的大小。用微元法易=pvo电流场的矢量线是电流线, 切线方向代表电流强度的方向，疏密表示电流的大小。 / = = （2 ?⑼ 加 a jr （it j = j = [[m -^L = ^L = py （2.20） 3宀工 dSft (2.21) (2.21) 图2.1示出了屯荷和屯流的关系和简单分类。 导体中的自由电「 子、止负离子、半导体中的电子白由由杵 和空穴?真空和LI由电向「气体中做迁移运动的电子、离子」外加电场形成极化 导体中的自由电「 子、止负离子、 半导体中的电子白由由杵 和空穴?真空和LI由电向「 气体中做迁移运 动的电子、离子」外加电场形成极化 电荷 运动 电荷，外加交变电j场形成极化电流束缚电荷 外加磁场形成磁化」电流 「传导电流 -自由电流? L运流电流 ?电流- 「极化电流 L束缚电流.-磁化电流 图2.1电荷和电流 电荷守恒定律是被大量实验证实了的普遍规律，它的内容是：电荷是守恒的, 它既不能被创造，也不能被消灭，而只能从一个物体专业到另一个物体。在有电 流存在的空间屮任取一个闭曲而S, S包围的体积的为V,其屮电荷的体密度为 。。则由电荷守恒定律可知，单位吋间内流出闭合面的总电量等于单位吋间内体 积V屮电量的