上半连续和下半连续教案解析.docxVIP

Word Word专业资料 函数的上、下半连续性 一、上、下半连续性的定义 设函数f x在集合E上有定义，X。E为E的一个聚点。f x在X。 处连续，用 语言描述，即： 0, 0,当x E,x Xo 时，有 TOC \o 1-5 \h \z f x0 f x f x0 A 若将此条件减弱，在不等式 A中，只使用其中的一个不等式, 那么就得到半连续。 定义 设f x在xo及其附近有定义，所谓f x在xo处上半连续, 是指： 0, 0,当x E, x Xo 时，恒有f x f xo 。 f x在Xo处下半连续，是指： o, 0,当x E, x Xo 时, 恒有f X f Xo 。 推论 f X在Xo及其附近有定义，则f X在Xo处连续的充要条件 是，f X在Xo处既上半连续又下半连续。 例 1 例 1 Dirichlet 函数 D x 1, x Q 0, x R Q 在有理点处上半连续，但不下半连续。 在无理点的情况恰恰相反。 例2考虑函数f x xD x , x R。 当x 0时，跟D x的结论一样， 当x 0时，跟D x的结论相反， 当x 0时，既上半连续又下半连续，因而在 x 0处连续。 例3 Riemann函数丄,当x —为既约整数，q 例3 Riemann函数 丄,当x —为既约整数，q 0 R x q q 0,当x无理数 在无理点处既上半连续又下半连续。 在有理点处上半连续，但不下半连续。 二、上、下半连续性的等价描述 定理1设f x在集合E上有定义，xo为E的一个聚点且xo 如下断言等价: 1、 f x在xo处上半连续（即： 0, 0,当x E, x xo 恒有f X f X。 ） 2、 lim f x f x0 x X0 3、 xn : xn E,xn x，必有 Hm f xn f X。 证明：1 2 明显，因 0, 0,当x E,x x° 时，有 f x f x0 E。则 时， 对上式取极限，并注意 0的任意性，即得2。 X° Xn X0lim f x max lim f xn X° Xn X0 X x n 血 f x min lim f xn xn E,xn x0 xn x0 XX） n 直接可得。 3 1 （用反证法） 设f x在Xo处不上半连续，则 0 °,-°, X 0 °, -°, Xn E,° Xn X° n 使得f Xn f x° °。这与已知条件3矛盾 当且仅当f x集合E中处处上（下）半连续时称 f x在E中上 （下）半连续。 定理2设E为闭集，f x在E上有定义，则f x在E中上半连续 的充要条件是：c ,，集合F c x E: f x c为闭集。 证明必要性为了证明F c为闭集，即要证明xn F c ,xn x°， 必有x° F c，此时xn E，而E为闭集，所以x° E。要证x° F c， 只要证f X° c。事实上，由xn F c知f Xn c n 1,2,，从而有 lim f Xn c。因f x在上半连续，根据定理1有 f x° lim f x lim f xn c n 充分性（反证法） 若f x不在E中上半连续，则至少存在一点X° E，f x在x°不上 半连续，即 ° °, 1 1 / n , Xn E, Xn X° -，但 f Xn f X° °。 n n 取数C ,使f x° ° c f x°，于是根据F c的定义 xn F c ,x° F c 但Xn X° （当n ），F为闭集，应有x° F c矛盾，证毕。 注（1 ）上半连续与下半连续是对偶的概念。一有什么结论，另 一也有相应的结论。定理2的对偶结论留给学生做为习题。 （2） 定理2给出了半连续的又一等价形式，其中未用 语言， 只用了闭集的概念。这为半连续推广到一般拓扑空间，作了准备。 三、上、下半连续的性质 1、运算性质 定理3 （ 1）若在a,b，函数f x ,g x上、下半连续，则它们的 和f x g x亦在a,b中上、下半连续。 （2）若在a, b上f x上下半连续，贝J- f x在a,b中为下、上半 连续。 （3） 若在a,b上，函数f x及g x 0，且上半连续（或f x及 g x 0，且下半连续）则它们的积f x g x在a, b上为上半连续。 若f x 0上、下半连续，g x 0为下（上）半连续，则f x g x下 （上）半连续。 （4） 若在a,b上，f x 0上（下）半连续，则一1一在a, b上为 f x 下（上）半连续。 这里只对（1 ）中上半连续的情况进行证明， 证法1 （利用半连续的定义） 因f x , g x上半连续，Xo a,b , 0, 0,当x x° ,x a,b时有 f x f xg -,g x gx° - 所以 f x g x f x0 g x0 故 fxgx 在a,b上上半连续