曲线的离心率求法.pdfVIP

圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质， 一方面刻画了椭圆， 双曲线的形状， 另一方面也体现了参数 a ,c 之间的联系。 一、基础知识： c 1、离心率公式： e （其中c 为圆锥曲线的半焦距） a （1）椭圆： e 0,1 （2 ）双曲线： e 1,+ 2 、圆锥曲线中 a, b,c 的几何性质及联系 2 2 2 （1）椭圆： a b c ， 2 2 2 （2 ）双曲线： c b a 3 、求离心率的方法： 求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数 a, b, c 的比例关系 （只需找出其中两个参数 的关系即可） ，方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形） ，那么可考虑寻 求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与 a 有关，另一条边为焦距。从而可求解 （2 ）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用 a,b,c 进行表示，再利 用条件列出等式求解，或者带入曲线求解 （3 ）利用三角形的相似关系 （4 ）利用点线距离关系 4 、离心率的围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的坐标是否有围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的围有要求。如果问题围绕在“曲线上 存在一点” ，则可考虑该点坐标用 a ,b,c 表示，且点坐标的围就是求离心率围的突破口 （2 ）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3 ）通过一些不等关系得到关于 a ,b,c 的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率围时要注意圆锥曲线中对离心率围的初始要求：椭圆： e 0,1 ，双曲线： e 1,+ 二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题 2 2 x y 例 1 （1）：设 F , F 分别是椭圆 C : 1 a b 0 的左、 右焦点， 点 P 1 2 2 2 a b 在椭圆 C 上， 线段 PF 的中点在 y 轴上， 若 PF F 30o ，则椭圆的离心率为 1 1 2 （ ） 3 3 1 1 A． B ． C ． D ． 3 6 3 6 答 案 ： A 小 炼 有 话 说 ： 在 圆 锥 曲 线 中 ， 要 注 意 O 为 F F 中 点 是 一 个 隐 含 条 件 ， 如 果 图 中 存 在 其 它 中 点 ， 1 2 则 有 可 能 与 O 搭 配 形 成 三 角 形 的 中 位 线 。 2 2 x y （2 ）：椭圆 1 0 b 2 3 与渐近线为 x 2 y 0 的双曲线有相同的焦点 F , F , P 为它们的一个 2