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§3 线性变换及其矩阵表示 以上讨论了线性空间的代数结构，说明了 上任一线性空间 F n F n V 都与向量空间 同构。但尚未涉及两个向量空间之间的转换 关系。然而，在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同 向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个 向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个 向量空间的转换关系的函数。事实上，在我们的日常生活中，也 经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时， 通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数T(x,y ) (x,y ) 就能够将图像的 坐标和 坐标改变尺度。根据 和 大于 1 还 x y   是小于1，图像就能够被放大或者缩小。 下面我们讨论线性空间之间一种最简单但又最重要的联系， n 即线性变换，特别是 到自身的线性变换(也称为线性算子)。 V n m 定义 1 设 到 的变换 称为线性的，如果对任意的数 V V T k n 及 中任意向量 , ，恒有 V T(+) T+T, T(k) kT. 记 T V m ，则称 为 在 下的像， 称为 的原像。特别，   T   n n 当 是 到自身的一个线性变换，则称 是 的线性变换。 T V T V 定义中的两个条件也可以合并写作 T(k α+k β) k Tα+k Tβ 1 2 1 2 更一般地，若u , u , u Vn ，反复使用上面公式，可得 1 2 p T (k u + k u + + k u ) k Tu + k Tu + + k Tu 1 1 2 2 p p 1 1 2 2 p p 这一公式在工程和物理中被称为叠加原理(superposition principle)。如果u , u , u 分别是某个系统或过程的输入信号 1 2 p 1 向量，则Tu ,Tu , Tu 可分别视为该系统或过程的输出信号向 1 2 p 量。判断一个系统是否为线性系统的判据是：如果系统的输入为 线性表达式y k u + k u + + k u ，则当系统的输出也满足相 1 1 2 2 p p 同的线性关系Ty k Tu + k Tu + + k Tu 时，该系统为线性系 1 1 2 2 p p 统。否则，为非线性系统。