微分近似视角下看一类“起点”恒成立问题的命制与对策.docVIP

精品文档，助力人生，欢迎关注小编！ 微分近似视角下看一类“起点”恒成立问题的命制与对策 祁国伟 [摘 要] 在利用函数研究不等式、零点问题的教学上教师经常觉得时间投入与产出不对等，如果能够在CAP视角下进行微分近似分析与计算，能有效提高学生的学习有效性、培养数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养. [关键词] CAP;微分近似;核心素养 函数与导数应用是高考中的热点，也是难点，特别是含指对数等的超越不等式恒成立问题因为常涉及参数讨论、指对数的繁杂运算等使得学生不易接受，导致基本放弃此类问题，究其原因是参数的存在导致无从下手，其次超越数的参与影响了运算. 笔者在本课题的教学实践中发现如果从微分近似的视角看待这些函数的命制背景，对函数的图像做局部微观分析，寻找参数可能的取值范围，进而得出结论或部分结论，能使问题得到有效解决，特别是在常见的一类恒成立问题上行之有效，学生的思维高度也会上一个台阶. 下面从几个高考真题来谈谈一类“起点”恒成立问题的命制与解题对策. 为了方便讨论，本文中的函数都是定义域内的连续可导函数. 引理：若不等式f（x）0在区间（a，+∞）上恒成立且f（a）=0，则必有f′（a）≥0. 证明：利用反证法. 假设结论不成立，则f′（a）0，因为f′（a）为常数，故可设f′（a）=m0. 因为导函数f ′（x）在x=a处连续，所以可取ε=-m0. 由连续定义可知，必存在δ0，使得当x-aδ时，都有f′（x）-f′（a） ε，即当x∈（a，a+δ）时，f′（x） f′（a）+ε=0，此时函数f（x）在区间（a，a+δ）上单调递减，所以x∈（a，a+δ）时，f（x） f（a）=0. 这与已知f（x） 0恒成立矛盾，故假设不成立，即f′（a）≥0成立. /f（a）=0. /f′（a）+ε=0，此时函数f（x）在区间（a，a+δ）上单调递减，所以x∈（a，a+δ）时，f（x） /ε，即当x∈（a，a+δ）时，f′（x） /δ时，都有f′（x）-f′（a） 限于高中的知识储备，教学上并不需要对引理进行严谨的证明，其实从微分近似的几何直观上看这个引理很容易理解，函数f（x）在区间的起点处函数值刚好为0，要使得函数在区间上的函数值恒大于0，则在图像起点附近函数值必然没有负值，即一定单调不减，故f′（a）≥0. 需要注意的是f′（a）≥0只是不等式f（x）0在区间（a，+∞）上恒成立的必要条件，充分性還需要进一步证明. 教学中发现这种解题方法学生很容易接受，同时能避开烦琐的参数讨论及运算，为方便说明，不妨称此类不等式恒成立为“起点”恒成立. 例1：（20XX全国Ⅱ文）已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若当x∈（1，+∞）时，f（x）0，求a的取值范围. 分析：标准答案的解法需要讨论参数a，学生不易掌握，也讨论不全.利用引理巧解如下. 解：f ′（x）=lnx+ +1-a. 因为当x∈（1，+∞）时，f（x）0且f（1）0，所以f ′（1）=2-a≥0，解得a≤2. 下面证明当a≤2时，不等式f（x）0在（1，+∞）上恒成立，此时f ′（x）=lnx+ +1-a≥lnx+ -1. 记g（x）=lnx+ -1，x∈（1，+∞），则g′（x）= 0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）g（1）=0. f ′（x）=lnx+ +1-a≥g（x）0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）f（1）=0. 综上：a的取值范围是（-∞，2]. 总结：本例的解法是基于引理的起点恒成立问题，分两步完成，先得到不等式恒成立的必要条件f ′（1）≥0，从而限制参数a的取值范围是（-∞，2];再证明充分性，只需考虑a≤2的情况即可，从而可以通过放缩a转化为不含参数的不等式证明. 从解法中可以看到避开了参数讨论和烦琐的指对数运算. 当然这种解法并不是非常严谨，但不失为一种有效的解决方法. 命题背景分析：从解法中可以看到f′（1）≥0只是f（x）0恒成立的必要条件，换句话说此时得到的参数a的取值范围有可能太大，解题时怎么知道充分性一定是对的呢？事实上本题中的函数模型是下凸函数，这种模型可以使得f ′（x）单调递增，从而得到f ′（x）恒为非负数，原函数f（x）一定在区间（1，+∞）上单调递增，从而不等式恒成立. 引理的推论：如果下凸函数f（x）满足f（a）=0且在（a，+∞）上有定义，则不等式f（x）0在区间（a，+∞）上恒成立的充要条件是f ′（a）≥0. 证明：由引理可知必要性是正确的，下面只需证明充分性. 因为f（x）在（a，+∞）上是