北师大版高中数学选修2-1《圆锥曲线的共同特征》教学设计.docVIP

圆锥曲线的共同特征 一、教学目标： 1、知识与技能： 通过本节的学习，掌握圆锥曲线的共同性质，理解离必率、焦点、准线的 意义。 2、过程与方法： 教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。 3、情感、态度与价值观： 通过本节的学习，可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。 二、教学重点： 圆锥曲线第二定义的推导； 教学难点： 对圆锥曲线第二定义的理解与运用 三、教学方法：讨论发现法 四、教学过程 （一）、知识回顾 1、学生看课本 P24《椭圆的标准方程》 、 P32《双曲线的标准方程》 思考： 在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子： a 2 cx a ( x c) 2 y2 ， 将其变形为： ( x c) 2 y2 c ， a2 x a c 你能解释这个式子的意义吗？ 这个式子表示一个动点 P（ x， y）到定点（ c， 0）与到定直线 a 2 的距离之比等于定值 c x ，那么具有这 c a 个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？b5E2RGbCAP （二）、新课探究 例 1、已知点点 P（ x，y）到定点 F（ c， 0）的距离与到定直线 l : x a 2 c 的距离之比是常数 (a c 0) ， c a 求点 P 的轨迹。 解：由题意可得  (x c)2 y2 c a2 a c x 化简得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c2 ) 。 令 a 2 c2 b 2 ，则上式可以化为 x2 y2 1 ( a b 0) 这是椭圆的标准方程。 a 2 b2 所以点 P 的轨迹是焦点为（ c， 0），（ -c， 0），长轴长、短轴长分别为 2a、2b 的椭圆。 变式：若将条件 a c 0改为 0 a c 呢？ 由上例知，椭圆上的点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l （ F 不在 l 上）的距离的比是一个常数，这个 常数就是椭圆的离必率 ep1EanqFDPw 类似地，可以得到：双曲线上的点 P 到定点 （F c，0）的距离和它到定直线 l : x a2 （ c a 0，b2 c 2 a2 ） c 的距离的比是一个常数，这个常数 c 就是双曲线的离心率 e。 DXDiTa9E3d a 圆锥曲线的共同定义 ：圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l （ F 不在定直线 l 上）的距离之比 是一个常数 e。 这个常数 e叫做圆锥曲线的离心率，定点 F 就是圆锥曲线的焦点，定直线 l 就是该圆锥曲线的准线。 注：（ 1）椭圆的离心率 e满足 0 e1，双曲线的的离心率 e1，抛物线的的离心率 e＝ 1。（2）根据图形的 对称性知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 x a2 y 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是 y a 2 ；对于中心在原点，焦点在 。（ 3）圆锥曲线的定 c c 义深刻提示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整体，当圆锥曲线上一点与 一焦点和相应准线的距离需要建立联系时，常考虑第二定义；当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和（或差） 为常数时，常考虑第一定义。 RTCrpUDGiT （三）、新知巩固：学生练习： 见课本 P87 1、2 （四）、知识拓展： 椭圆的焦半径公式： 若 P（ x，y）是椭圆上任一点， F1 、F2 是椭圆 x 2 y 2 1 (a b 0) a 2 b 2 的左焦点和右焦点，则 PF1 a ex，PF2 a ex ；若 P（ x， y）是椭圆上任一点， F1、 F2 是椭圆 y2 x2 1 (a b 0) 的下焦点和上焦点，则 PF1 a ey，PF2 a ey；5PCzVD7HxA a2 b2 例 2、若椭圆的长轴长是短轴长的 4 倍，一条准线方程是 y 4 ，求椭圆的标准方程。 a 2 2 2 4 2 2 2 2 2 解析： c , c a b , b 3, a 12, 所以椭圆的标准方程为 x y 1 a 2 b 3 12 例 3 已知椭圆 x2 y2 1上有一点 P，到其左、右焦点距离之比为 1：3，求点 P 到两准线的距离及点 P 100 36 的坐标。 解析： a 10,b 6,c 8,e 4 PF1 1 , PF PF 20, 5 1 2 PF2 3, PF 5, PF PF1 PF2 25 75 或 d1 75 25 2 15, e, e， d1 , d2 ， d2 1 d1 d2 4 4 4 4 由 PF1 a ex，PF2 a ex得 x 25 或 x 25 ， y 3 39 。 4 4