大学课件-高等数学ppt课件06定积分-文档资料.pptVIP

求曲边梯形的面积A的具体做法：;; 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变速直线运动的路程的问题.;定义;; 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述：;定积分的存在定理; 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有; 如果在[a,b]上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.; 如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.;性质1; 如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b]，则;利用定积分的几何意义，可分别求出;性质4;性质6 (定积分估值定理);例2;性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ，使下式成立;即数值 介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小值m之间.;性质7的几何意义：; 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称 为函数f(x)在[a,b]上的平均值.;第二节 定积分基本公式; 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，且对于给定的x( )，就有一个积分值与之对应，所以上限为变量的积分 是上限x的函数.;定理1;证明;结论：变上限积分所确定的函数 对积分上限 x的导数等于被积函数f(t)在积分上限x处的值f(x).;由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.;定理2(微积学基本定理); 上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本定理.; 牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.;例2;例3;例4 求;例6 求;第三节 定积分的积分方法;定理 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，而 满足下列条件：;注意：;例1 求;方法二;例4 求;例7;证明; 例7表明了连续的奇、偶函数在对称区间[–a,a]上的积分性质，即偶函数在[–a,a]上的积分等于区间[0,a]上积分的两倍；奇函数在对称区间上的积分等于零，可以利用这一性质，简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.;例8;例9 证明; 应用分部积分公式计算定积分时,只要在不定积分的结果中代入上下限作差即可.若同时使用了换元积分法,则要根据引入的变量代换相应地变换积分限. ;例10;例12 求;例13 求;第四节 广义积分; 函数f(x)在无穷区间 上的广义积分， 记作 ， 即; 类似地，无穷区间 上的广义积分定义为;例1 求;例2 求;所以，广义积分 收敛，且;例3;若上式右端极限存在，则称广义积分 收敛.如果上述极限不存在，就称广义积分发散.; 类似地，函数f(x)在[a,b)上连续，且 广义积分定义为;此时，如果上式右端两个广义积分 都收敛，则称广义积分 收敛，否则称广义积 分 发散.;例5 计算;由于上面两个极限都不存在,所以 发散.;例7;