五年级奥数春季实验班第3讲 组合数学之竞技与比赛.docVIP

第三讲 组合数学之竞技与比赛 例1．学而思网校要举行足球赛，有5个部门参加，每个部门出2个代表队，每个队都要与其他队赛一场，这些比赛分别在5个不同的体育场进行，那么平均每个体育场都要进行 场比赛。 解：一共10个代表队，共比赛场，45÷5=9（场）。 答：平均每个体育场赛9场。 例2．甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同，那么另一人胜了 场。 解：一共比赛场， 甲、乙、丙三人中每个人都比赛了3场，而且他们相互之间也要进行3场比赛，他们之间的赛不会有人胜两场，也不会三人中有人输了两场，只能是相互间连环胜， 这样如果如果他们都胜了另一人，则另一人胜了0场， 如果三人都又输给了另一人，则另一人胜了3场。 答案是0或3. 例3．A、B、C、D四个足球队进行单循环赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场，胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分。所有比赛结束后，各队得分由高到低恰好是四个连续自然数，那么这次比赛中共有 场平局。 解：四支球队单循环赛，一共赛6场，如果每场都分出胜负，最后总得分是18分，如果都是平局，那么总得分是12分，所以得分在12~16之间。 四支球队的得分是四个连续整数，如1+2+3+4=1012，（舍去）；3+4+5+6=1816，（舍去）； 于是只能是 2+3+4+5=14，应该是4场平局。 得2分的球队是2平1负、得3分的球队是3平（或1胜2负）、 得4分的球队是1胜1平1负、得5分的球队是1胜2平。 通过比较知道，得3分的球队只能是3平，不会是1胜2负（这样的话，胜场与负场不相等）， 于是有2场分出了胜负，4场为平局。 例4．五支足球队比赛，每两个队之间比赛一场：每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分。比赛完毕后，发现五个队的积分恰好是五个连续自然数，设第1、2、3、4、5名分别平了A、B、C、D、E场，那么五位数= 。 解：五支球队单循环赛，一共赛10场，如果每场都分出胜负，最后总得分是30分，如果都是平局，那么总得分是20分，所以得分在20~30之间。 2+3+4+5+6=20，这样10场比赛都是平局，矛盾，舍去； 4+5+6+7+8=30，这样10场比赛都分出胜负，矛盾，舍去； 只能是3+4+5+6+7=25，应该是5场平局，5场分出胜负； 第1名得7分，是2胜1平1负；第2名得6分，是2胜2负（或1胜3平）；第3名的5分是1胜2平1负； 第4名的4分，是1胜1平2负（或4平），第5名得3分，是1胜3负（或3平1负）。 由于前3名已经有了5场胜局，所以第4名只能是4平，第5名只能是3平1负 这样=10243. 例5．足球队A、B、C、D、E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分。若A、B、C、D队总分分别为1、4、7、8，那么E队至多得分 ；至少得分 。 解：五支球队单循环赛，一共赛10场，每队参加4场比赛， D队得8分，是2胜2平；C队得7分，是2胜1平1负； B队的4分，是1胜1平2负；A队得1分，是0胜1平3负。 胜 平 负 甲 0 1 3 乙 1 1 2 丙 2 1 1 丁 2 2 0 现在累计是5个胜场，5个平均，6个负场；显然E至少有1个胜场、1个平局； 另外两场的可能是1个胜场和1个负场；或者是2个平局。 所以E对得分最多是2胜1平1负，得7分，最少是1胜3平，得6分。 例6．羽毛球是我国的优势项目，在一次国际赛事上，我国著名选手鲍春来2 : 1逆转了印尼选手陶菲克（羽毛球为21分制），经计算，两人三局总得分竟然都是59分，并且每一局分差都不超过4分，则三局的比分分别是： : 、 : 、 : 。（鲍春来得分在前） 解：鲍春来有两局为21分，则另一局为59?42=17分，21?17=4， 所以可能是21 : 19；17 : 21；21 : 19； 例7．有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A、B、C参加，在每一个项目中，第一、第二、第三名分别得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3为正整数，且p1p2p3，最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一，那么M的值为 ，并且在跳高中 得第二名。 解：22+9+9=40，40=5×8=4×10，p1+p2+p3≥1+2+3=6，并且是40的一个约数， 如果有M=5个项目，则p1p2p3，且p1+p2+p2=8，其中p3=1，p2=2，p1=5， 则B得到1个第一，4个第三；C得到4个第二，1个第三；A得到4个第一，1个第二。 B在百米得到第一，其他四项都是第三；A得到4个第一，1个第二，所以得到的是百米第二， 其他的第二都