五年级奥数春季实验班第5讲 几何综合之复杂平面几何问题一.docVIP

第五讲 几何综合之复杂平面几何问题一 模块一、长方形的分割和铺砌 例1．如图，长方形ABCD的长为6，宽为4，E是宽BC的中点，AB上有一点F，使得△DEF的面积为10，求AF= 。 解：长方形ABCD的面积=6×4=24， 设AF=x，则BF=6?x，S△DCE=×6×2=6，S△ADF=×4×x=2x，S△BEF=×2×(6?x)=6?x， 所以24?6?2x?(6?x)=10，解得x=2. 所以AF=2. 例2．如图有很多大小相同的长方形纸条，长和宽都是整数，并且长比宽多12厘米，如果把这些纸条像图1那样全部横着排成一排，总长是819厘米，如果像图2那样按顺序有横有竖排下去，总长是579厘米，请问：如果像图3那样排列时，周长是 厘米。 解：设小长方形的长为x，则宽为x?12，小纸条共有n条，若n是偶数，则图1的总长应该是偶数，矛盾， 所以n是奇数，设n=2k+1， 则图1中，总长是 (2k+1)×x=819， 如果图2中总长是 (k+1)×x+k×(x?12)=579， 若两式相减得 12k=240，k=20，把k=20代入解得x不是整数，矛盾，舍去 如果图2中的总长是kx+(k+1)(x?12)=579，解得k=19，代入得x=21， 所以一共有39张小纸条 39÷3=13，所以图3中，总长是13×21+13×9=390. 例3．如图所示，大长方形恰好被分割成九个互不重叠的正方形，已知最小的正方形的边长为2厘米，那么大长方形的周长是 厘米。 解：最小的正方形的边长为2，设第二小的正方形的边长为x，以正方形从小到大的顺序写出它们的边长， 依次是2、x、2+x、4+x、6+2x、10+3x、8+4x、8+5x、16+4x， 由长方形的宽得26+7x=16+9x，解得x=5，所以大长方形的宽是61，长是69， 所以长方形的周长是2×(61+69)=260厘米。 模块二、一半模型 例4．如图，已知正方形ABCD的边长是12厘米，E是AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，则三角形BDG的面积是 平方厘米。 解：连结DF，BE，正方形的边长是12厘米，所以正方形的面积是144平方厘米， S△BCE=72平方厘米，又F是EC的中点，所以S△BCF=36平方厘米， 又E是AD的中点，所以S△CDE=36平方厘米，得S△CDF=18平方厘米， 而S△BCD=72平方厘米，所以S△BDF=72?36?18=18平方厘米， G是BF的中点，所以S△BDG=×S△BDF=9平方厘米. 例5．如图，四边形ABCD中，DE=3FC，EF=2FC，BG=3AH，GH=2AH，已知四边形ABCD的面积等于24，则EFGH的面积等于 。 解：连结AC、GC、AE， 则S△BGC=S△ABC=S△ABC，同理S△ADE=S△ADC=S△ADC， 所以四边形AGCE的面积是四边形ABCD面积的一半，即12平方厘米； 在四边形AGCE中，连结EG， 则S△AHE=S△AGE，S△CFG=S△CEG， 所以四边形EFGH的面积是四边形AGCE面积的，即SEFGH=8平方厘米。 模块三、平行线间的等积变形 例6．P为五边形ABCDE内一点，AB⊥BP，AB=3厘米，BP=4厘米，AE//BP，PD//BE，ED//BC，那么三角形CDE面积是 平方厘米。 解：连结BD，因为DE//BC，所以S△CDE=S△BDE， 连结PE，因为PD//BE，所以S△BDE=S△BPE， 因为BP//AE，所以S△BPE=S△ABP， 三角形ABP是直角三角形，AB=3厘米，BP=4厘米， 所以三角形ABP的面积是6平方厘米，即三角形CDE的面积是6平方厘米。 例7．已知正方形ABCD边长为10，正方形BEFG边长为6，四边形JCHI为正方形，求阴影部分的面积为 。 解：连结CI、CF、BF，BF与BD在一条直线上，分别是两个正方形的对角线，与BH的夹角是45°， CI是正方形JCHI的对角线，它与CH的夹角也是45°，所以CI//FD， 所以S△DFI=S△DFC，三角形DFC的底边DC=10，高是10?6=4，所以S△DFC=20， 即阴影部分的面积是20. 例8．如图，四边形ABCD是梯形，AB//CD，对角线AC、BD相交于O点，OE//AB，交腰BC于E点，如果三角形OBC的面积是115cm2，那么三角形ADE的面积是 平方厘米。 解：因为OE//AB//CD，所以S△AOE=S△BOE，S△DOE=S△COE，所以S△AOE+S△DOE=S△BOE+ S△COE=S△OBC， 又在梯形中S△AOD=S△BOC，所以三角形AD