完备版拉格朗日中值定理与高考数学.docVIP

拉格朗日中值定理与高考数学 拉格朗日中值定理：若函数f 满足如下条件： i） f 在闭区间 [ a, b] 上连续； ii ） f 在开区间 (a,b) 内可导； 则在 a,b 内至少存在一点 ，使得 f f b f a b . a 1、证明 f x f x a 成立（其中 x 0 ） x a 或 x 例：（ 2007年高考全国卷 I第 20题） 设函数 f x ex e x . （Ⅰ）证明： f x 的导数 f x 2 ； （Ⅱ）证明：若对所有 x 0 ，都有 f x ax ，则 a 的取值范围是 ( , 2] . （Ⅰ）略 . （Ⅱ）证明：（ i ）当 x 0 时，对任意的 a ，都有 f x ax (ii) 当 x 0时，问题即转化为 ex e x 对所有 x 0 恒成立 . a x 令 G x ex e x f x f 0 ，由拉格朗日中值定理知 0,x 内至少存在一点 （从 x x 0 而 0），使得 f f x f 0 ，即 G x f e e ，由于 x 0 f e e e0 e 0 0 ，故 f 在 0,x 上是增函数，让 x 0 得 G x min f e e f 0 2 ，所以 a 的取值范围是 ( , 2] . 评注：第 (2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法 .即令 g x f x ax ，再分 a 2 和 a 2 两种情况讨论 .其中， a 2 又要去解方程 g x 0 .但这有两个缺点：首 先，为什么 a 的取值范围要以 2 为分界展开 .其次，方程 g x 0 求解较为麻烦 .但用拉格 朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦 . 二、证明 g a g b 2g a b (b a), b a 成立 2 例：（ 2004年四川卷第 22题） 已知函数 f x ln(1 x) x, g x x ln x . （Ⅰ）求函数 f x 的最大值； （Ⅱ）设 0 a b 2a ，证明： g a g b 2g a b (b a)ln 2 . 2 （Ⅰ）略； （Ⅱ）证明：依题意，有 g x ln x 1 g a g b 2 g a b g b g a b g a b g a 2 2 2 由拉格朗日中值定理得，存在 a, a b , a b ,b ，使得 2 2 g b g a b g a b g a g g ? b a ln ln ? b a 2 2 2 2 ln ? b a ln b ? b a ln 4a ? b a b a ln 2 2 a 2 a 2 评注：对于不等式中含有 g a , g b , g a b a b 的形式，我们往往可以把 2 g a b g a 和 g b g a b ，分别对 g a b g a 和 g b g a b 两次 2 2 2 2 运用拉格朗日中值定理 . 三、证明 f x1 f x2 x1 x2 成立 [4] 例： (2OO6 年四川卷理第 22题) 已知函数 f x x2 2 a ln x(x 0), f x 的导函数是 f x ， 对任意两个不相等的正 x 数 x1 , x 2 ，证明： （１）当 a 0时， f x1 f x2 f x1 x2 2 2 （２）当 a 4 时， f x1 f x 2 x 1 x 2 . 证明：（１）不妨设 x1 x2 ，即证 f x2 x1 x2 f x1 x2 f x1 ．由拉格 f 2 2 朗日中值定理知，存在 1 x1 , x1x2 , 2 x1 x2 , x2 ，则 1 2 且 2 2 f x2 f x1 x2 f 2 ? x2 x1 ， f x1 x2 f x1 f 1 ? x2 2 x1 又 2 2 2 f (x) 2x 2 a ， f x 2 4 a .当 a 0 时， f x 0 .所以 f ( x) 是一个单 x2 x x3 x2 调递减函数， 故 f 1 f 2 从而 f x2 f x1 x2 f x1 x2 f x1 成立， 因 2 2 此命题获证． （２）由 f x x2 2 a ln x 得， f (x) 2x 2 a ，令 g x f x 则由拉 x x2 x 格朗日中值定理得： g x1 g x 2 g (x 1 x 2 ) 下面只要证明： 当 a 4 时，任意 0 ,都有 g 1 ，则有 g x 2 4 a 1， 4 4 x3 x2 即证 a 4 时， a x2 恒成立 .这等价于证明 x2 的最小值大于 4 . x x 由于 x2 4 x2 2 2 33