2021年线性代数知识点总结.docVIP

线性代数知识点总结 第一章 行列式 (一)关键点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列和逆序数，奇偶排列（能够不介绍对换及相关定理），n阶行列式定义 3、行列式性质 4、n阶行列式，元素余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、克莱姆法则 （二）基础要求 1、了解n阶行列式定义 2、掌握n阶行列式性质 3、会用定义判定行列式中项符号 4、了解和掌握行列式按行（列）展开计算方法，即 5、会用行列式性质简化行列式计算，并掌握多个基础方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数行列式， 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则条件及结论 会用克莱姆法则解低阶线性方程组 7、了解个方程个未知量齐次线性方程组有非零解充要条件 第二章 矩阵 （一）关键点 1、矩阵概念 矩阵是一个矩阵表。当初，称为阶矩阵，此时由元素按原来排列形式组成阶行列式，称为矩阵行列式，记为. 注：矩阵和行列式是两个完全不一样两个概念。 2、多个特殊矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 3、矩阵运算；矩阵加减法；数和矩阵乘法；矩阵转置；矩阵乘法 （1）矩阵乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 假如两矩阵和相乘，有,则称矩阵和可换。 注：矩阵乘积不一定符合交换 （2）方阵幂：对于阶矩阵及自然数， 要求,其中为单位阵 . (3) 设多项式函数，为方阵，矩阵多项式,其中为单位阵。 （4）阶矩阵和，则. （5）阶矩阵，则 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵可逆，则其逆矩阵是唯一）；矩阵伴随矩阵记为， 矩阵可逆充要条件；逆矩阵性质。 6、矩阵初等变换：初等变换和初等矩阵；初等变换和初等矩阵关系；矩阵在等价意义下标准形；矩阵可逆又一充足必需条件：能够表示成部分初等矩阵乘积；用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵秩：矩阵阶子式；矩阵秩概念；用初等变换求矩阵秩 8、矩阵等价 （二）要求 1、了解矩阵概念；矩阵元素；矩阵相等；矩阵记号等 2、了解多个特殊矩阵及其性质 3、掌握矩阵乘法；数和矩阵乘法；矩阵加减法；矩阵转置等运算及性质 4、了解和掌握逆矩阵概念；矩阵可逆充足条件；伴随矩阵和逆矩阵关系；当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算方法 （1）在对矩阵分法符合分块矩阵运算规则条件下，其分块矩阵运算在形式上和不分块矩阵运算是一致。 （2）特殊分法分块矩阵乘法，比如，，将矩阵分块为 ，其中（）是矩阵第列， 则 又如将阶矩阵分块为，其中（）是矩阵第列. （3）设对角分块矩阵 ,均为方阵， 可逆充要条件是均可逆，，且 6、了解和掌握矩阵初等变换和初等矩阵及其相关理论；掌握矩阵初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵秩、求逆矩阵 7、了解矩阵秩概念和初等变换不改变矩阵秩等相关理论 8、若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵,则称矩阵和矩阵等价，记为. 矩阵和等价当且仅当,在等价意义下标准型：若，则 ，，为阶单位矩阵。 所以阶矩阵可逆充要条件为。 第三章 线性方程组 (一)关键点 1、n维向量；向量线性运算及其相关运算律 记全部维向量集合为，中定义了维向量线性运算，则称为 维向量空间。 2、向量间线性关系 （1）线性组合和线性表示；线性表示判定 （2）线性相关和线性无关；向量组线性相关和无关判定 3、向量组等价，向量组秩；向量组极大无关组及其求法；向量组秩及其求法 （1）设有两个向量组 向量组和能够相互表示，称向量组和等价。向量组等价含有传输性。 （2）一个向量组极大无关组不是惟一，但其所含向量个数相同，那么这个相同个数定义为向量组秩。 4、矩阵秩和向量组秩关系 5、线性方程组求解 （1）线性方程组消元解法 （2）线性方程组解存在性和唯一性判定 （3）线性方程组解结构 （4）齐次线性方程基础解系和全部解求法 （5）非齐次方程组解求法 （二）要求 1、了解n维向量概念；掌握向量线性运算及相关运算律 2、掌握向量线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念 3、掌握线性表示、线性相关、线性无关相关定理 4、了解并掌握向量组等价极大无关组、向量组秩等概念；及极大无关组、向量组秩求法 5、掌握线性方程组矩阵形式、向量形式表示方法 6、会用消元法解线性方程组 7、了解并掌握齐次方程组有非零解充足条件及其判别方法 8、了解并掌握齐次方程组基础解系、全部解概念及其求法 9、了解非齐次方程组和其导出组解关系；掌握非齐次方程组求解方法 第四章 矩阵特