2010《复变函数》期末考试试题与评分标准.docVIP

姓名 学号 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线……………………………………… _____________ ________ … XXXX大学期末考试 2010《复变函数-B》试卷 注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 6大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 2 3 4 5 6 总分 得 分 评卷人 1，填空题。(每题5分，合计30分) （1）已知 ，则z的虚部为 （2）设C为正向圆周，则积分 （3）函数 在如下范围内可导： （4）在映射下，区域的原像为 （5）计算积分 （6）函数在的洛郎展开式为 2，计算题，(每题5分，合计30分)。 （1）计算 和 的值 （2）求解方程 （3）分别用定义和柯西--黎曼条件判断函数是否可导，是否解析？ （4）计算积分，其中C是从原点到1+3i的直线段。 （5）函数 和都有什么奇点？如果是极点，请指出它是几阶极点。 （6）求在处的Taylor展式。 3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径： （1），其中； （2）。 4，(本题10分) 计算积分。 5，(本题10分) 计算积分，为正向曲线。 6， (本题10分) 在指定区域展开成洛朗级数： （1） （2） 1，填空题。(每题5分，合计30分) （1）已知 ，则z的虚部为 （2）设C为正向圆周，则积分 （3）函数 在如下范围内可导： （4）在映射下，区域的原像为 （5）计算积分 （6）函数在的洛郎展开式为 2，计算题，(每题5分，合计30分)。 （1）计算 和 的值 解： （2）求解方程 （3）分别用定义和柯西--黎曼条件判断函数是否可导，是否解析？ 解：， ，，并且在（0，0）处偏导数不存在。，可知。因此，整个复平面上不满足柯西--黎曼条件。可知函数不可导，从而不解析。 用定义：在（0，0）处，分别沿正、负实轴趋于0，可知极限分别为1和-1，因此极限不存在，即函数不可导。 在（0，0）以外， 分别令从实轴和虚轴趋于0，可知极限分别为 和，因此可知极限不存在，即不可导。从而处处不解析。 （4）计算积分，其中C是从原点到1+3i的直线段。 解：参数方程为 （5）函数 和都有什么奇点？如果是极点，请指出它是几阶极点。 解：0为的1阶零点，可知0为f的1阶极点；为的3阶零点，可知为f的3阶极点。 显然，函数g有奇点z=1， 因此z=1为本性奇点。 （6）求在处的Taylor展式。 3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径： （1），其中；比值法： （2）。根值法， 4，(本题10分) 计算积分。 解：令，则， ，其中有三个一阶极点在内，在外。于是， 5，(本题10分) 计算积分，为正向曲线。 解：在C内极点较多，因此利用外面的一阶极点， ，因此 6，(本题10分) 在指定区域展开成洛朗级数： （1） 1、令，，。因此， 2、。因此， （2）