中学数学利用导数研究函数的极值和最值(含答案) .pdfVIP

专题 4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义 :一般地，设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义， 如果对 x0 附近的所有的点， 都有 f ( x) f (x0 ) ， 就说 f (x 是函数 f (x ) 的一个极大值，记作 y 极大值 = , 是极大值点。如果对 x 附近的所有的点，都 ) f (x ) x 0 0 0 0 有 f (x ) f ( x ).就说 f ( x )是函数 f (x) 的一个极小值，记作 y 极小值 = f (x ) ， x 是极小值点。极大值与极 0 0 0 0 小值统称为极值 . 0 (2) 判别 f (x )是极大、极小值的方法 : 若 x 满足 f (x ) 0 ，且在 x 的两侧 f (x) 的导数异号，则 x 是 f (x ) 的极值点， f ( x ) 是极值，并 0 0 0 0 0 且如果 f (x) 在 x 两侧满足 “左正右负 ”，则 x 是 f ( x) 的极大值点， f ( x ) 是极大值；如果 f (x) 在 x 两 0 0 0 0 侧满足 “左负右正 ”，则 x 是 f (x ) 的极小值点， f ( x ) 是极小值 . 0 0 (3) 求可导函数 f(x)的极值的步骤 : ①确定函数的定义区间，求导数 f (x) ; ①求出方程 f ￠(x ) = 0的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格 .标出 f (x ) 在方程根左右 的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f (x)在这个根处取得极 小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数 f (x ) 的定义域 I 内存在 x0 ,使得对于任意的 x ? I ,都有 f ( x ) ￡f (x0 ),则称 f (x 0 ) 为 函数的最大值，记作 y = f ( x ) ; 若在函数 f (x) 的定义域 I 内存在 x ,使得对于任意的 x ? I , 都有 max 0 0 f (x ) 3 f (x ),则称 f (x 0 ) 为函数的最小值，记作 y = f (x ) ; 0 min 0 （2 ）在闭区间 a,b 上图像连续不断的函数 f (