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4．3 电磁场能量 ·坡印廷定理 1．坡印廷定理 电磁能量以电场和磁场的形式存储在场域空间中，导电媒质吸收的电功率体现为焦耳热形式。 动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。在单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为 将上式两边对任意闭合曲面S包围的体积V积分，并由散度定理，得 令S=E×H，对上式分析可知，S(W/m2)表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面S流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量W(=We+Wm)的增加率和电磁能量的消耗率。 上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。上式又被称为坡印廷定理的积分形式，坡印廷定理的微分形式为 2．坡印廷矢量 矢量S不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描述了该电磁功率流的空间流动方向。这一电磁功率流面密度矢量，被称为坡印廷矢量。 （W/m2） 3. 时谐电磁场的坡印廷定理 导电媒质吸收的复功率体密度为 时谐电磁场坡印廷定理的微分形式 时谐电磁场坡印廷定理的积分形式 对于有损媒质 欧姆损耗 媒质的电极化损耗 媒质的磁化损耗 磁场(感性)无功功率 电场(容性)无功功率 在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为 其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。 电磁功率流面密度矢量平均值 它是一个（空间上）有方向，（时间上）无相位的矢量。 （例4-3）：直流电压源U0经图示的同轴电缆向负载电阻R供电。设该电缆内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为b和c。试用坡印廷矢量分析其能量的传输过程。 图 同轴电缆横截面中的E、H和S的分布 [解]：设同轴电缆为理想导体，内导体电位为U0，电流I=U0/R沿z轴方向流动；外导体电位为零，电流与内导体电流反向。可得同轴电缆内外电、磁场分别为 （例2-9） （例3-7） 图 同轴电缆横截面中的E、H和S的分布 其余各处均为零 对同轴电缆截面积分得同轴电缆传输的功率为 与电路理论获得的结果相同。理想导体内部传输功率为0。 讨论：从以上例题，坡印廷矢量仅存在于同轴电缆的内外导体之间的空间，且垂直于E和H组成的平面。这说明电磁能量是以电磁场方式通过空间传输给负载的，而不是象人们直观臆断的那样是以电流为载体通过导体传送给电阻的。应指出，导体的作用仅在于建立空间电磁场、并从电源定向导引电磁能量输入负载。 华北电力大学工程电磁场课件6月14日 （例3-21）：计算图示两对输电线间的互感。 图 两对传输线间的互感 P162，图3-39 [解]：设导线之间的距离DAC、DAD、DBC和DBD均远大于导线半径。设在导线AB（回路1）通有电流I，在导线CD（回路2）交链的互磁通穿过面积CD’和面积C’D，即 互感为 3.电感计算的一般公式 （1）自感：设电流集中在回路的轴线上。利用矢量磁位A计算外磁链。回路的内周界l?为积分路径，外磁链为 图 回路外磁链的计算用图 dl dl? l? l r 当线圈由N匝细导线密绕组成时，则单匝回路上的磁通增大N倍，而该磁通又与N匝回路相交链，故外自感为 可见，此时外自感Lo与N2正比，为单匝回路外自感的N2倍。 对于内自感，一般均采用近似计算法。 一般而言，回路的内自感远小于外自感， 所以回路的自感为L=Li+Lo≈Lo （2）互感： 图 两个回路间互感的计算 dl1 l1 dl2 l2 I2 r P 设回路2中通电流I2，在回路1的轴线上任一点处产生的矢量磁位为 回路2对回路1的互感为 同理可得 多匝线圈 诺以曼公式 3．7 磁场能量 1．载流回路系统中的磁场能量 单个载流回路的磁场能量： 设回路电流i从零缓慢增长到终值I，回路磁通链随之由零值缓慢增长到终值，并在载流回路产生感应电压u，在dt内电源作功为dW = uidt，且全部转换为磁场能量储存在磁场中，即 dWm = dW = uidt = id? = iLdi (u = d?/dt) 在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为： n个载流回路的磁场能量： 设k=1~n，令各个回路电流均按比例系数为m(0≤m≤1)由零值缓慢增长到终值，在线性媒质中，在某一时刻，各回路电流 ik(t) = m(t)Ik，磁链（无论是其中的自感还是互感）?k(t) = m(t)?k。这是因为： 在dt内电源在n个载流回路中作功为： 该n个载流回路的磁场能量为 在线性媒质中，以k号载流回路为例，其磁链 ?k 可表示为自感磁链和互感磁链之和， 各载流系统内的互有能 各载流系统内的固有能 I为各载流回路电流列向量，L为载流回路电感矩阵。 2．磁场能量密度 设各载流回路均为单匝回路，且设载流回路为体电流分布，则元电流Ikdlk=JdV。注意到求和式化为体积分，则有 A不是一个物理量，而且