全国卷高考圆锥曲线真题答案.pdf

. 全国卷高考圆锥曲线真题 参考答案与试题解析 一．解答题（共 21 小题） 2 2 2 （m ＞0 ），直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标 1．（2015?新课标 II ）已知椭圆 C ：9x +y =m 轴， l 与 C 有两个交点 A ，B ，线段 AB 的中点为 M ． （1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （2 ）若 l 过点（ ，m），延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由． 【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论． （2 ）四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP=2x M ，建立 方程关系即可得到结论． 【解答】解： （1）设直线 l ：y=kx+b ，（k ≠0，b≠0 ），A （x 1 1 2 2 M M ，y ），B （x ，y ），M （x ，y ）， 将 y=kx+b 代入 9x2 2 2 （m＞0），得（ k2 2 2 ﹣m2 +y =m +9 ）x +2kbx+b =0 ， 2 2 2 2 2 则判别式 △=4k b ﹣4 （k +9 ）（b ﹣m ）＞0， 则 x 1 2 M M M +x = ，则 x = = ，y =kx +b= ， 于是直线 OM 的斜率 kOM= = ， 即 kOM ?k= ﹣9， ∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． （2 ）四边形 OAPB 能为平行四边形． ∵直线 l 过点（ ，m ）， ∴由判别式 △ =4k 2b2 ﹣4 （k2+9 ）（b2 ﹣m2 ）＞ 0 ， 2 2 2 2 即 k m ＞9b ﹣9m ， ∵b=m ﹣ m， 2 2 2 2 ∴k m ＞9 （m ﹣ m） ﹣9m ， 2 2 即 k ＞k ﹣6k ， 则 k ＞0 ， ∴l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k ＞0， k≠3， 由（ 1）知 OM 的方程为 y= x ， 设 P 的横坐标为 xP， 由 得 ，即 xP= ， ;. . 将点（ ，m ）的坐标代入 l 的方程得 b= ， 即 l 的方程为 y=kx+ ， 将 y= x ，代入 y=kx+ ， 得 kx+ = x 解得 xM = ， 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即