利用放缩法证明数列型不等式压轴题.docxVIP

学习必备 欢迎下载 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查 证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题 原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传 递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺 度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例， 探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的娃带来一盏明灯。 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。裂项放缩法 主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 S?? S ????T?? i?1 例?1?设数列??a??的前?n?项的和?S n 3 。 2 i 4???1??????2 3 ??2n?1???3n???a?n? 3 ??2n?1???3 2n 。设?T????，n???1,2,3, n n  ，证明： 32 3 证明：易得?S?? (2n?1???1)(2n???1),?T?? n n 3?????2n???????3??1?????1 ???(???????????)?， 2?(2?n?1???1)(2n???1)??2?2n???1?2n?1???1 ??T??? ??T???3???( 2??? 2 ??? 1 i i?1 i?1 1?????1?????3??1?????1?????1?????1 ???????)???(??????????????????????? i???1?2i?1???1??2?21???1?22???1?22???1?23??1 1 ???????) 2?n??1?2?n?1??1 = 3??1?????1?????3 (???)?? 2?21???1?2n?1??1??2 点评：?此题的关键是将 2n?????????????1?????1 裂项成?? (2n?1???1)(2n???1)??????2n???1?2n?1???1  ，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成?n(n???3)?项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例?2?已知数列?{a?}?和?{b?}?满足?a???2,?a???1???a?(a n n 1 n n  n?1 ??1)?，?b???a???1?，数列?{b?}?的前?n?和为?S?， n?n?n?n T???S ??S?；?（I）求证：?T n 2n n n?1  ??T?；?（II）求证：当?n???2?时，?S n  2n?? 7n???11 12  。 ??T???? ??T???? 1 n???2?? n???3??? ? n?1  n 1 ??????? 1?????1????1 ??(?????????? 2n???2??n???1?n???2 1 ????) 2n 2n 2n???1 2n???2?? n???1?? (2n???1)(2n???2) 1?????1?????1?1  ??????????????????????????0?????∴?T n?1  ??T?． n 2n?1 2n?1 n???2,??S???S???S 2n?2n  2n?1 ??S  2n?1 ??S  2n?2 ?????S???S???S???T 2?1?1 ??T 2n?2 ?????T???T???S 2?1?1 学习必备 欢迎下载 n2????????? 12由（I）可知?T? n 2????????? 12 2n?1  ??T 2n?2  ? 1??????????7 ??T?，又?T???,?S???1,T????， 2?1?1?2 12??????? 2?????? 12? 12??????? 2?????? 12 2n 2n?1  ??T 2n?2 7???????1????7n???11 ?????T???T???S???(n???1)T???T???S????(n???1)?????1?? 2?1?1?2?1?1 即当?n???2?时，?S  2n?? 7n???11 12  。 n点评：此题（II）充分利用（I）的结论，T?递增，将S 裂成?S n 2n  2n ??S  2n?1 ??S  2n?1 ??S  2n?2