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2. 曲线和方程、圆 知识网络 　　　　　　　　 曲线和方程、圆结构简图 画龙点晴 概念 曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C（看作适合某种条件的点集合或轨迹）与一个二元方程的实数解建立发如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解，（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. 求曲线方程的一般步骤为： 建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标，简称建系设点； 写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}，简称写点集； 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0，简称列方程； 化方程f(x，y)=0为最简形式，简称化简方程； 证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明．其中步骤(1)(3)(4)必不可少． [活用实例] [例1] 证明以C（1，-1）为圆心，半径等于2的圆的方程是(x-1)2+(y+1)2=4. [题解] （1）设M（x0,y0）是圆上任意一点，则M到圆心C的距离等于2，所以 =2, 也就是（x0-1）2+(y0+1)2=4, 即（x0,y0）是方程(x-1)2+(y+1)2=4的解。 （2）设（x0,y0）是方程(x-1)2+(y+1)2=4的解，那么（x0-1）2+(y0+1)2=4, 两边开方，即算术根，得=2,即点M到圆心C的距离等于2， 所以，M（x0,y0）是这个圆上的点。 由（1）、（20）可知，(x-1)2+(y+1)2=4是以C（1，-1）为圆心，半径等于2的圆的方程。 [例2] 过点A（1，0）作直线交已知直线x+y+5=0于B，在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，求点P的轨迹方程。 [题解] 设B（x0, y0）,P(x,y)， AP：PB=1：3， B在直线x+y+5=0上，4x-3+4y+5=0, 即2x+2y+1=0, 所求P点的轨迹方程为2x+2y+1=0. [例3] 点P与两定点A（-4，0）、B（4，0）的连线所成的角APB=450，求动点P的轨迹方程。 [题解] 设P(x,y)，则当y0时，有=1, 化简得x2+y2-8y-16=0; 当y0时，有=1, 化简得x2+y2+8y-16=0; 所求轨迹方程为x2+(y-4)2=32 (y0)或 x2+(y+4)2=32 (y0). [例4]如图，ABC的AOB=，AB在直线：x=3上移动，求ABC的外心的轨迹方程。 [题解] 设外心为M（x,y），连MO，作弦AB的弦心 距MH, 则，|MH|=，即 3-x=,化简得3(x-4)2-y2=12. 由3-x=0，得x3. 又外心必在y轴右侧，当外心M在x轴上时，x=2, . 所求外心M的轨迹方程为3(x-4)2-y2=12 （）. 圆的标准方程 : 圆心为(,半径为的圆方程是(x-a)2+(y-b)2＝r2. 求圆的标准方程有两种方法: 一是运用定义，求出圆的圆心坐标和半径；二是利用待定系数法确定a,b,r的值，这需要三个独立的条件。 [活用实例] [例5] 求过点A（2，-3），B（-2，-5）且圆心在直线x-2y-3=0上的圆的方程。 [题解1] 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 则a-2b-3=0，再把A、B两点坐标分别代入后解方程组，可得a=-1, b=-2, r2=10, 即所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. [题解2]由已知得圆心为AB的中垂线2x+y+4=0与x-2y-3=0的交点（-1，-2）， , 即所求的圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. [例6] 已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P（2，-1），且截x轴的正半轴所得的弦的长为8，求此圆的标准方程。 [题解] 设所求圆圆心为Q（a,b），则直线PQ与直线3x+4y-2=0垂直， 即,(1) 且圆半径r=|PQ|=,(2) 由（1）、（2）两式，解得a=5或a= -(舍)，当a=5时，b=3,r=5, 故所求圆的方程为(x-5)2+(y-3)2=25. [例7] 求圆心在直线 ：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程． [题解] (0，2)． 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上， 且圆心在直线上所以得方程组为 故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10． 或解：设所求圆的方程为：x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得： 由圆心在直线l上得λ=-2，可得所