高阶微分方程及的应用.pptVIP

可降阶高阶微分方程 y=f(x)型的微分方程 二、y=f(x,y)型的微分方程 =f(y)型的微分方程 习题3.6 6(3)(58,10(B)3 HIGHE m=f(x)型的微分方程 例1.求解ym=e2 e -cos x 解:y cOsx ldx+C sin x +Ci e2x +cos x +Cix +C2 8 +sinx+Cx+C2r+C3 (此处C1=C1) HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束 y=f(x,y)型的微分方程 不显含自变量y 设y=p(x),则y=p,原方程化为一阶方程 p=f(x, p) 设其通解为p=q(x,C1) 则得 p(x, Cu 再一次积分,得原方程的通解 =」o(xC)dx+C2 HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束 (1+x2)y=2xy 例2.求解 r=0 3 解:设y=p(x),则y=p,代入方程得 (1+x2)m=2xn分离变量dp_2xdx x 积分得1np=ln(1+x2)+lnC1,即p=(1(1+ 利用y1=0=3,得C1=3,于是有y=3(1+x 两端再积分得y=x3+3x+C2 利用yx=0=1,得C2=1,因此所求特解为 3x+1 HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束 y=f(y,y)型的微分方程 不显含自变量x 令y=p(y,则ypd.dyap dx dy dxdy 故方程化为 P ∫(y,P) 设其通解为p=p(y,C1),即得 分离变量后积分,得原方程的通解 d g(C1) HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束 例3.求解yy” 解:设y=P(y),则y dp dady dp dx dydx dy 代入方程得rp-p2=0,即4=4 两端积分得mp=lny+hnC1,即p=C1y =C1(一阶线性齐次方程) 故所求通解为y=C2ex HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束 例4.解初值问题 y =0 解:令y=p(y,则y”=p,代入方程得 d y pdp=edy 积分得p2=e2y+C1 利用初始条件得C1=0,根据P0=y1x=0=10得 d lr se d 积分得-ey=x+C2,再由yx0=,得C2=-1 故所求特解为 HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束 微分方程的应用 HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束 微分方程的应用 例1求一连续可导函数f(x)使其满足下列方程 f(x)=sinx- f(x-t)dt 令 解:∫( x)=sinx-. f(u)du 0 f(x)+∫(x)=cosx 则有 f(0)=0 利用公式可求出 f(r)=-(cos x +sinx-e) HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束 例2.设有微分方程y+y=f(x),其中 2,0x1 fc 0.x1 试求此方程满足初始条件yx0=0的连续解 y 2.0x1 解:1)先解定解问题 x=0=0 利用通解公式,得 dy 利用yx0=0得 故有 (0≤x≤1) HIGHER EDUCATION PRESS 机动日录上页下页返回结束