(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分.docVIP

第三讲 常微分方程发展简史 —— 解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段： 19 世纪 19 世纪为常微分方程发展的解析理论阶段 . 作为微分方程向复数域的推广 , 微分方程解析理论是由 Cauchy 开创的 . 在 Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法 , 求出一些重要的二阶线性方程的级数解 , 并得到极其重要的一些特殊函数 . 常微分方程是 17、18 世纪在直接回答物理问题中兴起的 . 在着手处理更为复杂的物理 现象 , 特别是在弦振动的研究中 , 数学家们得到了偏微分方程 . 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题 . 此外 , 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的 , 所以得到的常微分方程是陌生的 , 并且不能用封闭形式解出 . 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程 , 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式 , 而转向无穷级数的方法 . 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是 Bessel 方程 . 其中参数 n 和 x 都可以是复的 . x2 y xy ( x2 n 2 ) y 0 对 Bessel 来说 , n 和 x 都是实的 . 此方程的特殊情形早在 1703 年 Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到 , 后来 Bernoulli Daniel 、Euler、Fourier、Poisson 等都讨论过此问题 . 对此方程的解的最早的系统研究是由 Bessel 在研究行星运动时作出的 . 对每个 n , 此方程存 在两个独立的基本解 , 记作 J n( x) 和 Yn (x) , 分别称为第一类 Bessel 函数和第二类 Bessel 函 2数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数） . Bessel 自 1816 年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 2 Jn ( x) q cos(nu xsinu)du. 2 0 1818 年 Bessel 证明了 Jn ( x) 有无穷多个零点 . 1824 年, Bessel对整数 n 给出了递推关系式 xJn 1( x) 2 nJn ( x) xJn 1( x) 0 和其他的关于第一类 Bessel 函数的关系式 . 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了 Bessel 函数及其表达式和关系式 . Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是 Legendre 方程的级数解和 Legendre 多项式方面的结果 . 1784 年, Legendre 研究了 Legendre 方程 (1 x2) y 2 xy y 0 , 给出了幂级数形式的解 , 得到 了 Legendre 多项式 . 与此同时 , Hermite C 研究了方程 y 2xy y 0 , 得到了其幂级数 解 , 当 为 非 负 偶 数 时 即 为 著 名 的 Hermite 多 项 式 . Tchebyshevy 在 研 究 方 程 (1 x2 ) y xy p2 y 0 的解时 , 得到了 Tchebyshevy 多项式 . 1821 年, Gauss 研究了 Gauss几何方程 x(1 x) y [ ( 1)] y y 0 . 这个方程及其级数解  F ( , , , x) 1 x 1  ( 1) ( 1) x2 12( 1) 早已为人们所熟知了，因为它已由 Euler 研究过 . 此级数称为超几何级数 , 包含了几乎所有的当时已知的初等函数和许多像 Bessel 函数、球函数那样的超越函数 . 除了证明此级数的一些性质外， Gauss 还建立了著名的关系式 F ( , , ,1) ( ) ( ) . ( ) ( ) Gauss还建立了此级数的收敛性。记号 F ( , , , x) 应归源于 Gauss. 这一时期关于常微分方程级数解和特殊函数方面的工作还有很多 , 这里不一一介绍 . 奇点理论、自守函数 世纪中期，常微分方程的研究走上了一个新的历程。存在性定理和 Sturm-Liouville 理论都预先假设在考虑解的区域内， 微分方程包含解析函数或至少包含连续函数。 另一方面， 某些已经考虑过的微分方程，如 Bessel 方程、 Legendre 方程、 Gauss超几何方程，如果表示成具有变系数的线性齐次 $n$解常微分方程且最高阶导数项系数为 1 时，它们的系数具有奇异性，在奇异点的邻域内级数解的形式是特别的， 所以数学