欧几里德空间知识点总结 (2).pptVIP

第8章　欧几里得空间 习　题　课　一 (§1－§4) * * 一、双线性函数、内积、度量矩阵 二、长度、夹角、距离、不等式 三、标准正交基、Schmidt正交化 四、欧氏子空间、直和、正交补 计算题 1、计算内积、长度、夹角、距离 2、求度量矩阵 3、Schmidt正交化求标准正交基 证明题 1、双线性函数、内积 2、欧氏空间、欧氏子空间 2、向量正交、标准正交基 3、正交补、直和 主要题型 一、双线性函数、内积、度量矩阵 满足： 1、双线性函数 设V是域K上的向量空间， 是一个映射， 则称 为V上的一个双线性函数，记作 度量矩阵 （1）设V为K上的n维向量空间， 为V的一组基 2、双线性函数的度量矩阵 为V上的一个双线性函数 （2） 则 (3)设 为向量空间V的两组基， 双线性函数 f 在这两组基下的度量矩阵分别为A、B ，则A与B 合同： (4)设双线性函数 f 的度量矩阵是A，则 f 非退化 A非退化，即A可逆; f 对称的 A是对称矩阵; f 反对称的 A是反对称矩阵; f 正定的 A是正定矩阵。 满足性质： 当且仅当 时 3、内积---对称、可逆、正定的双线性函数 设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量 、　定义一个二元实函数，记作 ，若 （对称性） （数乘） （可加性） （正定性） 则称 为 和 的内积，并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 常见欧氏空间 定义内积 （3） 为闭区间 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 ，定义 则 对于这一内积作成一个欧氏空间. 注： 把 换作R[x]n-1对于这一内积也作成欧氏空间. （P183习题5） 度量矩阵 (1) 设V为欧氏空间， 为V的一组基 (2) 设 为欧氏空间V的两组基， 它们的度量矩阵分别为A、B ，则A与B 合同： 4、内积的度量矩阵---可逆、对称、正定矩阵 则 令 (3) 用度量矩阵计算内积 推广： （4） 内积的简单性质 V为欧氏空间， 例1、P179习题1、2、3、4 例2、P179习题5、6、 例3、P183习题8 例4、设 为 维 欧氏空间 中一组向量，称矩阵 为 的Gram矩阵；其行列式称为Gram行列式。 (1) 证明 : 线性无关 (2) 若 是由 通过正交化方法所得的正交组，证明: （P180习题7） 例5、设在向量空间 中规定内积后得到欧氏 空间 V，且V在基 下的度量矩阵为 (1) 求下列基度量矩阵 (2)求与下列向量都正交的单位向量 二、长度、夹角、距离、正交、不等式 3）非零向量 的单位化： 长度 (三角不等式) 距离 夹角 正交 则称 与 正交或互相垂直，记作 ① 零向量与任意向量正交. ② 　　即　 . ③勾股定理 对欧氏空间V中任意两个向量 ，有 当且仅当 线性相关时等号成立. 柯西－布涅柯夫斯基（Cauchy-Buniakowski）不等式 不等式 这一不等式也常写成 或 柯西 不等式 施瓦兹 不等式 三角 不等式 柯西－布涅柯夫斯基不等式应用 例1、证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 以下列式子成立： （P182习题2） 例2、P183习题5 例3、利用内积性质证明，一个三角形，如果有一边是它的外接圆的直径，那么这个三角形是直角三角形 。 即证， 例5、P183习题7（Bessel不等式） 例4、证明：对于任意实数 ，有 （P183习题4） 例6、P188习题9 例6、 是 欧氏空间两个线性无关量， 满足以下条件：