函数的周期性与对称性.pptxVIP

学 海 无 涯 第 5 炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或 对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1） f ?a ? x? ? f ?a ? x? ? f ? x? 关于 x ? a 轴对称（当a ? 0 时，恰好就是偶函数）;学 海 无 涯 ;;学 海 无 涯 ? f ?2a ? x? ? f ?2b ? x? ? f ? x? 的周期为T ? 2b ? 2a ? 2?b ? a? ② 若 f ? x? 的图像关于?a, 0?,?b, 0? 中心对称，则 f ? x? 是周期函数，周期T ? 2?b ? a? ③ 若 f ? x? 的图像关于 x ? a 轴对称，且关于?b,0? 中心对称，则 f ? x? 是周期函数，周期 T ? 4?b ? a? 7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整 个函数的性质。 函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值 图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴” 单调区间：由于间隔kT ?k ? Z ? 的函数图象相同，所以若 f ? x? 在?a,b??b ? a ? T ? 上 单调增（减），则 f ? x? 在?a ? kT,b ? kT ??k ? Z ? 上单调增（减）;学 海 无 涯 ;A. ?1;学易书城同意不得随意转载;学 海 无 涯 f ?2? ? 0 。 中 心 对 称 的 函 数 对 称 区 间 单 调 性 相 同 ， 从而可作出草图 。 而;学 海 无 涯 y ? f ? x ? 7? 都是偶函数，则 y ? f ? x? 在?0, 2013? 上的零点个数至少有（ ）个 A. 404 B. 804 C. 806 D. 402 思路：已知区间仅是?0,7?，而所求区间为?0, 2013? ，跨度如此之大，需要函数性质。从条 件入手 f ? x ? 2?, f ?x ? 7? 为偶函数可得 f ? x? 关于 x ? 2, x ? 7 轴对称，从而判断出 f ? x? 是周期函数，且T ? 2 ? ?7 ? 2? ? 10 ，故可以考虑将?0, 2013? 以 10 为周期分组，先判断出 一个周期内零点的个数，再乘以组数，加上剩余部分的零点即可;学 海 无 涯 零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解） 例 10：设函数 y ? f ? x? 是定义在 R 上以 1 为周期的函数，若 g ?x? ? f ?x? ? 2x 在区间;学 海 无 涯 ;学 海 无 涯 ;学 海 无 涯 f ?1? ? 1, f ?2? ? ? f ?0? ? 0, f ?3? ? f ??1? ? ? f ?1? ? ?1, f ?4? ? f ?0? ? 0 ? f ?1? ? f ?2? ? f ?3? ? f ?4? ? 0